Номер 22.20, страница 138, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

22.20. a) $2 \cos \left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3};$

б) $\sqrt{3} \tan \left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = 3;$

в) $2 \sin \left(3x - \frac{\pi}{4}\right) = -\sqrt{2};$

г) $\sin \left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) + 1 = 0.$

а) Исходное уравнение: $2 \cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}$. Сначала разделим обе части уравнения на 2, чтобы выделить косинус:$\cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения вида $\cos(t) = a$ находится по формуле $t = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.В нашем случае, аргумент $t = \frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}$. Значение $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ равно $\frac{\pi}{6}$.Подставляем значения в формулу:$\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$.Теперь выразим $x$. Перенесем $\frac{\pi}{6}$ в правую часть:$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$.Разобьем решение на два случая:1) С плюсом: $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{2\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$. Умножая обе части на 2, получаем $x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$.2) С минусом: $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = 0 + 2\pi n = 2\pi n$. Умножая обе части на 2, получаем $x = 4\pi n$.Ответ: $x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi n, \quad x = 4\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное уравнение: $\sqrt{3} \tan\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = 3$. Разделим обе части на $\sqrt{3}$:$\tan\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \sqrt{3}$.Общее решение для уравнения вида $\tan(t) = a$ находится по формуле $t = \arctan(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.В данном случае $t = \frac{x}{3} + \frac{\pi}{6}$. Значение $\arctan(\sqrt{3})$ равно $\frac{\pi}{3}$.Подставляем значения в формулу:$\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + \pi n$.Выразим $x$. Сначала перенесем $\frac{\pi}{6}$ в правую часть:$\frac{x}{3} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + \pi n = \frac{2\pi - \pi}{6} + \pi n = \frac{\pi}{6} + \pi n$.Теперь умножим обе части на 3:$x = 3 \cdot \left(\frac{\pi}{6} + \pi n\right) = \frac{3\pi}{6} + 3\pi n = \frac{\pi}{2} + 3\pi n$.Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 3\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

в) Исходное уравнение: $2 \sin\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) = -\sqrt{2}$. Разделим обе части на 2:$\sin\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.Общее решение для уравнения вида $\sin(t) = a$ записывается совокупностью двух серий решений: $t = \arcsin(a) + 2\pi n$ и $t = \pi - \arcsin(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.Аргумент $t = 3x - \frac{\pi}{4}$. Значение $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ равно $-\frac{\pi}{4}$.Рассмотрим обе серии решений:1) $3x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$.$3x = 2\pi n$.$x = \frac{2\pi n}{3}$.2) $3x - \frac{\pi}{4} = \pi - \left(-\frac{\pi}{4}\right) + 2\pi n = \pi + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$.$3x = \frac{5\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{6\pi}{4} + 2\pi n = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$.$x = \frac{1}{3} \left(\frac{3\pi}{2} + 2\pi n\right) = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi n}{3}$.Ответ: $x = \frac{2\pi n}{3}, \quad x = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}$.

г) Исходное уравнение: $\sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) + 1 = 0$. Перенесем 1 в правую часть уравнения, изменив знак:$\sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) = -1$.Это частный случай решения уравнения для синуса. Равенство $\sin(t) = -1$ достигается при $t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.В нашем уравнении аргумент $t = \frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}$.Приравниваем аргумент к решению:$\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$.Выразим $x$. Перенесем $\frac{\pi}{6}$ в правую часть:$\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{3\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{2\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$.Умножим обе части на 2:$x = 2 \cdot \left(-\frac{\pi}{3} + 2\pi n\right) = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi n$.Ответ: $x = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.