Номер 22.21, страница 138, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

22.21. а) $ \cos\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right) = -1; $

б) $ \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) = -1; $

в) $ 2 \sin\left(\frac{\pi}{3} - \frac{x}{4}\right) = \sqrt{3}; $

г) $ 2 \cos\left(\frac{\pi}{4} - 3x\right) = \sqrt{2}. $

а) Дано тригонометрическое уравнение $cos(\frac{\pi}{6} - 2x) = -1$. Это частный случай, решение которого находится из условия, что аргумент косинуса равен $\pi$ плюс целое число полных оборотов. То есть, $\frac{\pi}{6} - 2x = \pi + 2\pi n$, где $n \in Z$. Выразим $x$ из этого уравнения. Сначала изолируем слагаемое с $x$: $-2x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ $-2x = \frac{6\pi - \pi}{6} + 2\pi n$ $-2x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$ Теперь разделим обе части уравнения на -2: $x = -\frac{5\pi}{12} - \pi n$, где $n \in Z$. Поскольку $n$ может быть любым целым числом, то $-n$ также является любым целым числом. Для удобства можно заменить $-n$ на $k$, где $k \in Z$. $x = -\frac{5\pi}{12} + \pi k$, где $k \in Z$.
Ответ: $x = -\frac{5\pi}{12} + \pi k, k \in Z$.

б) Дано уравнение $tg(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}) = -1$. Общее решение уравнения $tg(t) = a$ записывается формулой $t = arctg(a) + \pi n$, где $n \in Z$. В данном случае $a = -1$, и $arctg(-1) = -\frac{\pi}{4}$. Следовательно, $\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in Z$. Выразим $x$. Перенесем $\frac{\pi}{4}$ в правую часть: $-\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + \pi n$ $-\frac{x}{2} = -\frac{2\pi}{4} + \pi n$ $-\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{2} + \pi n$ Умножим обе части на -2: $x = (-\frac{\pi}{2}) \cdot (-2) + (\pi n) \cdot (-2)$ $x = \pi - 2\pi n$, где $n \in Z$. Заменяя $-n$ на $k$ (где $k$ - любое целое число), получим более стандартную форму записи: $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in Z$.
Ответ: $x = \pi + 2\pi k, k \in Z$.

в) Дано уравнение $2\sin(\frac{\pi}{3} - \frac{x}{4}) = \sqrt{3}$. Сначала упростим его, разделив обе части на 2: $\sin(\frac{\pi}{3} - \frac{x}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Общее решение уравнения $\sin(t) = a$ представляет собой совокупность двух серий корней: $t = arcsin(a) + 2\pi n$ и $t = \pi - arcsin(a) + 2\pi n$, где $n \in Z$. Для $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$ имеем $arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$. Рассмотрим обе серии решений:
1) $\frac{\pi}{3} - \frac{x}{4} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$
$-\frac{x}{4} = 2\pi n$
$x = -8\pi n$, где $n \in Z$.
2) $\frac{\pi}{3} - \frac{x}{4} = \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi n$
$\frac{\pi}{3} - \frac{x}{4} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
$-\frac{x}{4} = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n$
$-\frac{x}{4} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$
$x = -\frac{4\pi}{3} - 8\pi n$, где $n \in Z$.
Заменив в обеих сериях $-n$ на $k$, где $k \in Z$, получим:
Ответ: $x = 8\pi k$; $x = -\frac{4\pi}{3} + 8\pi k$, где $k \in Z$.

г) Дано уравнение $2\cos(\frac{\pi}{4} - 3x) = \sqrt{2}$. Разделим обе части на 2: $\cos(\frac{\pi}{4} - 3x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Общее решение уравнения $\cos(t) = a$ дается формулой $t = \pm arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in Z$. Для $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$ имеем $arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$. Таким образом, $\frac{\pi}{4} - 3x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n$. Рассмотрим два случая, соответствующие знакам "+" и "-":
1) $\frac{\pi}{4} - 3x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$
$-3x = 2\pi n$
$x = -\frac{2\pi n}{3}$, где $n \in Z$.
2) $\frac{\pi}{4} - 3x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$
$-3x = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n$
$-3x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$
$x = \frac{\pi}{6} - \frac{2\pi n}{3}$, где $n \in Z$.
Запишем обе серии решений, заменив $-n$ на $k$, где $k \in Z$:
Ответ: $x = \frac{2\pi k}{3}$; $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in Z$.