Номер 22.28, страница 140, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

22.28. a) $sin x = -\frac{1}{2}$, $[-4; 4];$

б) $cos x = 1$, $[-6; 16].$

а) Требуется найти решения уравнения $ \sin x = -\frac{1}{2} $ на отрезке $ [-4; 4] $.

Сначала найдем общее решение уравнения $ \sin x = -\frac{1}{2} $.
Общее решение тригонометрического уравнения $ \sin x = a $ при $ |a| \le 1 $ записывается формулой $ x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Для нашего случая $ a = -\frac{1}{2} $, и $ \arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6} $.
Следовательно, общее решение имеет вид: $ x = (-1)^n (-\frac{\pi}{6}) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.
Эту формулу удобнее представить в виде двух серий решений:
1) $ x_1 = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $
2) $ x_2 = \pi - (-\frac{\pi}{6}) + 2\pi n = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $

Теперь отберем корни, принадлежащие отрезку $ [-4; 4] $. Для этого будем подставлять различные целые значения $ n $ в каждую серию.
Для оценки будем использовать приближенное значение $ \pi \approx 3.14 $.

Рассмотрим первую серию $ x_1 = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n $:
При $ n = 0 $: $ x = -\frac{\pi}{6} \approx -0.52 $. Так как $ -4 \le -0.52 \le 4 $, этот корень подходит.
При $ n = 1 $: $ x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6} \approx 5.76 $. Так как $ 5.76 > 4 $, этот корень не подходит.
При $ n = -1 $: $ x = -\frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{13\pi}{6} \approx -6.81 $. Так как $ -6.81 < -4 $, этот корень не подходит.
Из первой серии подходит только один корень: $ -\frac{\pi}{6} $.

Рассмотрим вторую серию $ x_2 = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n $:
При $ n = 0 $: $ x = \frac{7\pi}{6} \approx 3.67 $. Так как $ -4 \le 3.67 \le 4 $, этот корень подходит.
При $ n = 1 $: $ x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi = \frac{19\pi}{6} \approx 9.95 $. Так как $ 9.95 > 4 $, этот корень не подходит.
При $ n = -1 $: $ x = \frac{7\pi}{6} - 2\pi = -\frac{5\pi}{6} \approx -2.62 $. Так как $ -4 \le -2.62 \le 4 $, этот корень подходит.
При $ n = -2 $: $ x = \frac{7\pi}{6} - 4\pi = -\frac{17\pi}{6} \approx -8.9 $. Так как $ -8.9 < -4 $, этот корень не подходит.
Из второй серии подходят два корня: $ \frac{7\pi}{6} $ и $ -\frac{5\pi}{6} $.

Объединяя найденные корни, получаем все решения уравнения на заданном отрезке.
Ответ: $ -\frac{5\pi}{6}; -\frac{\pi}{6}; \frac{7\pi}{6} $.

б) Требуется найти решения уравнения $ \cos x = 1 $ на отрезке $ [-6; 16] $.

Сначала найдем общее решение уравнения $ \cos x = 1 $.
Это частный случай тригонометрического уравнения, его решение имеет вид: $ x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Теперь отберем корни, принадлежащие отрезку $ [-6; 16] $. Для этого решим двойное неравенство относительно $ k $:
$ -6 \le 2\pi k \le 16 $
Разделим все части неравенства на $ 2\pi $:
$ -\frac{6}{2\pi} \le k \le \frac{16}{2\pi} $
$ -\frac{3}{\pi} \le k \le \frac{8}{\pi} $

Для оценки границ используем приближенное значение $ \pi \approx 3.14159 $:
$ -\frac{3}{3.14159} \approx -0.955 $
$ \frac{8}{3.14159} \approx 2.546 $

Таким образом, неравенство для $ k $ имеет вид:
$ -0.955 \le k \le 2.546 $
Целые значения $ k $, удовлетворяющие этому неравенству: $ k=0, k=1, k=2 $.

Найдем соответствующие значения $ x $ для каждого целого $ k $:
При $ k = 0 $: $ x = 2\pi \cdot 0 = 0 $. Этот корень принадлежит отрезку $ [-6; 16] $.
При $ k = 1 $: $ x = 2\pi \cdot 1 = 2\pi $. $ 2\pi \approx 6.28 $, этот корень принадлежит отрезку $ [-6; 16] $.
При $ k = 2 $: $ x = 2\pi \cdot 2 = 4\pi $. $ 4\pi \approx 12.57 $, этот корень принадлежит отрезку $ [-6; 16] $.

При $ k=3 $ корень $ x = 6\pi \approx 18.85 > 16 $, он не входит в отрезок.
При $ k=-1 $ корень $ x = -2\pi \approx -6.28 < -6 $, он также не входит в отрезок.

Следовательно, на заданном отрезке уравнение имеет три корня.
Ответ: $ 0; 2\pi; 4\pi $.