Номер 22.34, страница 141, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

22.34. a) $ \cos t < \frac{2}{3} $;

б) $ \cos t > -\frac{1}{7} $;

В) $ \cos t > \frac{2}{3} $;

Г) $ \cos t < -\frac{1}{7} $.

Чтобы решить неравенство $ \cos t < \frac{2}{3} $, рассмотрим единичную окружность. Найдём углы $ t $, для которых $ \cos t = \frac{2}{3} $. Это $ t = \pm\arccos\left(\frac{2}{3}\right) $. Значения $ t $, удовлетворяющие неравенству, соответствуют точкам на единичной окружности, абсцисса которых (значение косинуса) меньше $ \frac{2}{3} $. Эти точки образуют дугу, заключённую между $ \arccos\left(\frac{2}{3}\right) $ и $ 2\pi - \arccos\left(\frac{2}{3}\right) $ при обходе против часовой стрелки. Учитывая периодичность функции косинуса (период $ 2\pi $), общее решение записывается как объединение интервалов.

Ответ: $ \arccos\left(\frac{2}{3}\right) + 2\pi k < t < 2\pi - \arccos\left(\frac{2}{3}\right) + 2\pi k $, где $ k \in Z $.

Для неравенства $ \cos t > -\frac{1}{7} $ ищем на единичной окружности точки, абсцисса которых больше $ -\frac{1}{7} $. Граничные значения находятся из уравнения $ \cos t = -\frac{1}{7} $, откуда $ t = \pm\arccos\left(-\frac{1}{7}\right) $. Углы, удовлетворяющие неравенству, лежат на дуге, расположенной правее вертикальной прямой $ x = -\frac{1}{7} $. Эта дуга заключена между $ -\arccos\left(-\frac{1}{7}\right) $ и $ \arccos\left(-\frac{1}{7}\right) $. Добавляя период $ 2\pi $, получаем общее решение.

Ответ: $ -\arccos\left(-\frac{1}{7}\right) + 2\pi k < t < \arccos\left(-\frac{1}{7}\right) + 2\pi k $, где $ k \in Z $.

Чтобы решить неравенство $ \cos t > \frac{2}{3} $, найдём на единичной окружности точки, абсцисса которых больше $ \frac{2}{3} $. Граничные углы, для которых $ \cos t = \frac{2}{3} $, равны $ t = \pm\arccos\left(\frac{2}{3}\right) $. Неравенству удовлетворяют точки на дуге, расположенной правее вертикальной прямой $ x = \frac{2}{3} $. Эта дуга заключена между $ -\arccos\left(\frac{2}{3}\right) $ и $ \arccos\left(\frac{2}{3}\right) $. Учитывая периодичность, записываем общее решение.

Ответ: $ -\arccos\left(\frac{2}{3}\right) + 2\pi k < t < \arccos\left(\frac{2}{3}\right) + 2\pi k $, где $ k \in Z $.

Для неравенства $ \cos t < -\frac{1}{7} $ ищем на единичной окружности точки, абсцисса которых меньше $ -\frac{1}{7} $. Граничные углы, для которых $ \cos t = -\frac{1}{7} $, равны $ t = \pm\arccos\left(-\frac{1}{7}\right) $. Неравенству удовлетворяют точки на дуге, расположенной левее вертикальной прямой $ x = -\frac{1}{7} $. Эта дуга заключена между $ \arccos\left(-\frac{1}{7}\right) $ и $ 2\pi - \arccos\left(-\frac{1}{7}\right) $. Используя тождество $ \arccos(-x) = \pi - \arccos(x) $, можно упростить выражение для интервала. Таким образом, решение находится между $ \pi - \arccos\left(\frac{1}{7}\right) $ и $ 2\pi - \left(\pi - \arccos\left(\frac{1}{7}\right)\right) = \pi + \arccos\left(\frac{1}{7}\right) $. С учётом периодичности, получаем общее решение.

Ответ: $ \pi - \arccos\left(\frac{1}{7}\right) + 2\pi k < t < \pi + \arccos\left(\frac{1}{7}\right) + 2\pi k $, где $ k \in Z $.