Номер 22.36, страница 141, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

22.36. a) $4 \cos^2 t < 1$;

б) $3 \cos^2 t < \cos t$;

В) $9 \cos^2 t > 1$;

Г) $3 \cos^2 t > \cos t$.

а) Решим неравенство $4\cos^2 t < 1$.
1. Разделим обе части неравенства на 4: $\cos^2 t < \frac{1}{4}$.
2. Данное неравенство равносильно неравенству $\left|\cos t\right| < \frac{1}{2}$.
3. Раскроем модуль, что приведет к двойному неравенству: $-\frac{1}{2} < \cos t < \frac{1}{2}$.
4. Найдем на единичной окружности точки, для которых абсцисса (косинус) находится в интервале от $-\frac{1}{2}$ до $\frac{1}{2}$.
- Уравнение $\cos t = \frac{1}{2}$ имеет решения $t = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
- Уравнение $\cos t = -\frac{1}{2}$ имеет решения $t = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
5. Таким образом, нас интересуют углы, которые лежат между $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{2\pi}{3}$, а также между $\frac{4\pi}{3}$ и $\frac{5\pi}{3}$ (что эквивалентно $-\frac{2\pi}{3}$ и $-\frac{\pi}{3}$).
6. Объединяя эти интервалы с учетом периодичности, получаем два семейства решений: $\frac{\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$ и $-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < t < -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Эти два семейства можно записать в более компактной форме.
Ответ: $\frac{\pi}{3} + \pi k < t < \frac{2\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Решим неравенство $3\cos^2 t < \cos t$.
1. Перенесем все члены в левую часть: $3\cos^2 t - \cos t < 0$.
2. Сделаем замену переменной. Пусть $x = \cos t$, где $-1 \le x \le 1$. Неравенство принимает вид: $3x^2 - x < 0$.
3. Найдем корни уравнения $3x^2 - x = 0$: $x(3x-1) = 0$, откуда $x_1=0$ и $x_2=\frac{1}{3}$.
4. Это парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $3x^2 - x < 0$ выполняется между корнями: $0 < x < \frac{1}{3}$.
5. Вернемся к исходной переменной: $0 < \cos t < \frac{1}{3}$.
6. Решим это двойное неравенство с помощью единичной окружности. Нас интересуют точки, абсцисса которых строго больше 0 и строго меньше $\frac{1}{3}$.
- Эти точки находятся в I и IV четвертях.
- В I четверти: $\arccos(\frac{1}{3}) < t < \frac{\pi}{2}$.
- В IV четверти: $-\frac{\pi}{2} < t < -\arccos(\frac{1}{3})$.
7. Добавим период $2\pi k$ для получения всех решений.
Ответ: $(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; -\arccos\frac{1}{3} + 2\pi k) \cup (\arccos\frac{1}{3} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

в) Решим неравенство $9\cos^2 t > 1$.
1. Разделим обе части неравенства на 9: $\cos^2 t > \frac{1}{9}$.
2. Это неравенство равносильно $\left|\cos t\right| > \frac{1}{3}$.
3. Неравенство с модулем распадается на совокупность двух неравенств: $\cos t > \frac{1}{3}$ или $\cos t < -\frac{1}{3}$.
4. Решим первое неравенство: $\cos t > \frac{1}{3}$. Решением является интервал $-\arccos\frac{1}{3} < t < \arccos\frac{1}{3}$. С учетом периодичности: $-\arccos\frac{1}{3} + 2\pi k < t < \arccos\frac{1}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
5. Решим второе неравенство: $\cos t < -\frac{1}{3}$. Решением является интервал $\arccos(-\frac{1}{3}) < t < 2\pi - \arccos(-\frac{1}{3})$. Используя свойство $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$, получаем $\pi - \arccos\frac{1}{3} < t < \pi + \arccos\frac{1}{3}$. С учетом периодичности: $\pi - \arccos\frac{1}{3} + 2\pi k < t < \pi + \arccos\frac{1}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
6. Объединяем полученные множества решений.
Ответ: $(-\arccos\frac{1}{3} + 2\pi k; \arccos\frac{1}{3} + 2\pi k) \cup (\pi - \arccos\frac{1}{3} + 2\pi k; \pi + \arccos\frac{1}{3} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

г) Решим неравенство $3\cos^2 t > \cos t$.
1. Перенесем все члены в левую часть: $3\cos^2 t - \cos t > 0$.
2. Сделаем замену переменной. Пусть $x = \cos t$, где $-1 \le x \le 1$. Неравенство принимает вид: $3x^2 - x > 0$.
3. Найдем корни уравнения $3x^2 - x = 0$: $x(3x-1) = 0$, откуда $x_1=0$ и $x_2=\frac{1}{3}$.
4. Это парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $3x^2 - x > 0$ выполняется вне интервала между корнями: $x < 0$ или $x > \frac{1}{3}$.
5. Вернемся к исходной переменной. Получаем совокупность двух неравенств: $\cos t < 0$ или $\cos t > \frac{1}{3}$.
6. Решим первое неравенство: $\cos t < 0$. Косинус отрицателен во II и III четвертях. Решением является интервал $\frac{\pi}{2} < t < \frac{3\pi}{2}$. С учетом периодичности: $\frac{\pi}{2} + 2\pi k < t < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
7. Решим второе неравенство: $\cos t > \frac{1}{3}$. Решением является интервал $-\arccos\frac{1}{3} < t < \arccos\frac{1}{3}$. С учетом периодичности: $-\arccos\frac{1}{3} + 2\pi k < t < \arccos\frac{1}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
8. Объединяем решения обоих неравенств.
Ответ: $(-\arccos\frac{1}{3} + 2\pi k; \arccos\frac{1}{3} + 2\pi k) \cup (\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.