Номер 22.40, страница 141, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

22.40. a) $6 \cos^2 t + \sin t > 4;$

б) $6 \cos^2 t + \sin t \le 4.$

а) $6 \cos^2 t + \sin t > 4$

Для решения данного тригонометрического неравенства приведем его к квадратному неравенству относительно одной тригонометрической функции. Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 t = 1 - \sin^2 t$.

$6(1 - \sin^2 t) + \sin t > 4$

$6 - 6\sin^2 t + \sin t - 4 > 0$

$-6\sin^2 t + \sin t + 2 > 0$

Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$6\sin^2 t - \sin t - 2 < 0$

Введем замену переменной. Пусть $x = \sin t$. Поскольку область значений функции синус от -1 до 1, то $-1 \le x \le 1$. Неравенство принимает вид:

$6x^2 - x - 2 < 0$

Найдем корни квадратного уравнения $6x^2 - x - 2 = 0$, чтобы определить интервалы знакопостоянства. Вычислим дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-2) = 1 + 48 = 49 = 7^2$. Корни уравнения:

$x_1 = \frac{1 - 7}{2 \cdot 6} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{1 + 7}{2 \cdot 6} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$

Графиком функции $y = 6x^2 - x - 2$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции отрицательны между корнями. Таким образом, решение неравенства для $x$:

$-\frac{1}{2} < x < \frac{2}{3}$

Произведем обратную замену:

$-\frac{1}{2} < \sin t < \frac{2}{3}$

Решим это двойное неравенство, используя тригонометрическую окружность. Нам необходимо найти все углы $t$, для которых ордината (значение синуса) соответствующей точки на окружности находится в интервале от $-\frac{1}{2}$ до $\frac{2}{3}$.

Этому условию соответствуют две дуги на окружности. Первая дуга заключена между точками, соответствующими углам $t_1 = \arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$ и $t_2 = \arcsin(\frac{2}{3})$. Вторая дуга заключена между точками, соответствующими углам $t_3 = \pi - \arcsin(\frac{2}{3})$ и $t_4 = \pi - \arcsin(-\frac{1}{2}) = \pi - (-\frac{\pi}{6}) = \frac{7\pi}{6}$.

С учетом периодичности функции синус, общее решение неравенства представляет собой объединение двух интервалов.

Ответ: $t \in (-\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \arcsin\frac{2}{3} + 2\pi k) \cup (\pi - \arcsin\frac{2}{3} + 2\pi k, \frac{7\pi}{6} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

б) $6 \cos^2 t + \sin t \le 4$

Преобразования этого неравенства аналогичны тем, что были выполнены в пункте а). После использования тождества $\cos^2 t = 1 - \sin^2 t$ и приведения подобных членов мы получаем:

$6\sin^2 t - \sin t - 2 \ge 0$

Введем замену $x = \sin t$, где $-1 \le x \le 1$.

$6x^2 - x - 2 \ge 0$

Корни квадратного трехчлена $6x^2 - x - 2$ равны $x_1 = -\frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{2}{3}$. Поскольку ветви параболы $y = 6x^2 - x - 2$ направлены вверх, неравенство выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями, включая сами корни:

$x \le -\frac{1}{2}$ или $x \ge \frac{2}{3}$

Выполним обратную замену:

$\sin t \le -\frac{1}{2}$ или $\sin t \ge \frac{2}{3}$

Учитывая область значений синуса $[-1, 1]$, эта совокупность неравенств равносильна следующей:

$-1 \le \sin t \le -\frac{1}{2}$ или $\frac{2}{3} \le \sin t \le 1$

Решим каждое неравенство с помощью тригонометрической окружности.

1. Решением неравенства $\frac{2}{3} \le \sin t \le 1$ является множество углов $t$, для которых соответствующая точка на окружности лежит на дуге от $\arcsin\frac{2}{3}$ до $\pi - \arcsin\frac{2}{3}$. С учетом периодичности, получаем отрезок: $[\arcsin\frac{2}{3} + 2\pi k, \pi - \arcsin\frac{2}{3} + 2\pi k]$.

2. Решением неравенства $-1 \le \sin t \le -\frac{1}{2}$ является множество углов $t$, для которых соответствующая точка на окружности лежит на дуге от $\frac{7\pi}{6}$ до $\frac{11\pi}{6}$. С учетом периодичности, получаем отрезок: $[\frac{7\pi}{6} + 2\pi k, \frac{11\pi}{6} + 2\pi k]$.

Объединяя эти два множества решений, получаем итоговый ответ.

Ответ: $t \in [\arcsin\frac{2}{3} + 2\pi k, \pi - \arcsin\frac{2}{3} + 2\pi k] \cup [\frac{7\pi}{6} + 2\pi k, \frac{11\pi}{6} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.