Номер 22.41, страница 141, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

22.41. a) $tg x < \sqrt{3}$;

б) $ctg x > 0$;

В) $tg x < 0$;

Г) $ctg x > -1$.

а) Для решения неравенства $tg x < \sqrt{3}$ воспользуемся тригонометрическим кругом или графиком тангенса. Сначала найдём значения $x$, для которых $tg x = \sqrt{3}$. Это $x = arctg(\sqrt{3}) + \pi n = \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Функция $y = tg x$ имеет период $\pi$ и вертикальные асимптоты в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$. На основном интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ функция тангенса возрастает. Неравенство $tg x < \sqrt{3}$ выполняется для всех $x$ от левой асимптоты до точки $\frac{\pi}{3}$.

Таким образом, на одном периоде решение имеет вид: $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{3}$. Обобщая на все периоды, получаем общее решение.

Ответ: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \frac{\pi}{3} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

б) Решим неравенство $ctg x > 0$.

Функция котангенс, $ctg x = \frac{cos x}{sin x}$, положительна, когда $cos x$ и $sin x$ имеют одинаковые знаки. Это происходит в I и III координатных четвертях.

Для I четверти решение: $0 < x < \frac{\pi}{2}$.

Для III четверти решение: $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$.

Учитывая, что период котангенса равен $\pi$, эти два интервала можно объединить в одну серию решений.

Ответ: $\pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

в) Решим неравенство $tg x < 0$.

Функция тангенс, $tg x = \frac{sin x}{cos x}$, отрицательна, когда $sin x$ и $cos x$ имеют противоположные знаки. Это происходит во II и IV координатных четвертях.

Для II четверти решение: $\frac{\pi}{2} < x < \pi$.

Для IV четверти решение: $-\frac{\pi}{2} < x < 0$.

Период тангенса равен $\pi$. Решение для IV четверти $(-\frac{\pi}{2}, 0)$ является основным. Обобщая его с помощью периода, получаем общее решение.

Ответ: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

г) Для решения неравенства $ctg x > -1$ сначала найдём корни уравнения $ctg x = -1$. Это $x = arcctg(-1) + \pi n = \frac{3\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Функция $y = ctg x$ имеет период $\pi$ и вертикальные асимптоты в точках $x = \pi n$. На основном интервале $(0, \pi)$ функция котангенса убывает. Неравенство $ctg x > -1$ выполняется для всех $x$ от левой асимптоты ($x=0$) до точки $x = \frac{3\pi}{4}$.

Таким образом, на одном периоде решение имеет вид: $0 < x < \frac{3\pi}{4}$. Обобщая на все периоды, получаем общее решение.

Ответ: $\pi n < x < \frac{3\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.