Номер 22.43, страница 141, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

22.43. a) $tg^2 x > 9;$

б) $tg^2 x > tg x;$

в) $tg^2 x < 9;$

г) $tg^2 x < 2 tg x.$

а) $\operatorname{tg}^2 x > 9$

Данное неравенство является квадратным относительно $\operatorname{tg} x$. Оно равносильно совокупности двух неравенств: $$ \begin{cases} \operatorname{tg} x > 3 \\ \operatorname{tg} x < -3 \end{cases} $$

1. Решим неравенство $\operatorname{tg} x > 3$.
Используя тригонометрическую окружность или график тангенса, находим решение. Решением этого неравенства является серия интервалов:
$\operatorname{arctg}(3) + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Решим неравенство $\operatorname{tg} x < -3$.
Решением этого неравенства является серия интервалов:
$-\frac{\pi}{2} + \pi k < x < \operatorname{arctg}(-3) + \pi k$.
Так как $\operatorname{arctg}(-a) = -\operatorname{arctg}(a)$, неравенство можно переписать в виде:
$-\frac{\pi}{2} + \pi k < x < -\operatorname{arctg}(3) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения этих двух неравенств, получаем окончательный ответ.
Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{2} + \pi k; -\operatorname{arctg}(3) + \pi k) \cup (\operatorname{arctg}(3) + \pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k), k \in \mathbb{Z}$.

б) $\operatorname{tg}^2 x > \operatorname{tg} x$

Перенесем все члены в левую часть и разложим на множители:
$\operatorname{tg}^2 x - \operatorname{tg} x > 0$
$\operatorname{tg} x (\operatorname{tg} x - 1) > 0$
Сделаем замену $y = \operatorname{tg} x$. Получим квадратное неравенство $y(y - 1) > 0$.
Решением этого неравенства является совокупность $y < 0$ или $y > 1$.
Возвращаемся к исходной переменной: $\operatorname{tg} x < 0$ или $\operatorname{tg} x > 1$.

1. Решим неравенство $\operatorname{tg} x > 1$.
$\operatorname{arctg}(1) + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k$.
Так как $\operatorname{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$, получаем:
$\frac{\pi}{4} + \pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Решим неравенство $\operatorname{tg} x < 0$.
$-\frac{\pi}{2} + \pi k < x < \operatorname{arctg}(0) + \pi k$.
Так как $\operatorname{arctg}(0) = 0$, получаем:
$-\frac{\pi}{2} + \pi k < x < \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя полученные решения, получаем ответ.
Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{2} + \pi k; \pi k) \cup (\frac{\pi}{4} + \pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k), k \in \mathbb{Z}$.

в) $\operatorname{tg}^2 x < 9$

Это неравенство равносильно двойному неравенству: $-\sqrt{9} < \operatorname{tg} x < \sqrt{9}$.
То есть, $-3 < \operatorname{tg} x < 3$.

Решением этого двойного неравенства является серия интервалов, ограниченных соответствующими значениями арктангенса:
$\operatorname{arctg}(-3) + \pi k < x < \operatorname{arctg}(3) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Используя свойство нечетности арктангенса, $\operatorname{arctg}(-a) = -\operatorname{arctg}(a)$, получаем:
$-\operatorname{arctg}(3) + \pi k < x < \operatorname{arctg}(3) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in (-\operatorname{arctg}(3) + \pi k; \operatorname{arctg}(3) + \pi k), k \in \mathbb{Z}$.

г) $\operatorname{tg}^2 x < 2 \operatorname{tg} x$

Перенесем все члены в левую часть и разложим на множители:
$\operatorname{tg}^2 x - 2\operatorname{tg} x < 0$
$\operatorname{tg} x (\operatorname{tg} x - 2) < 0$
Сделаем замену $y = \operatorname{tg} x$, получим квадратное неравенство $y(y - 2) < 0$.
Решением этого неравенства является интервал $0 < y < 2$.
Возвращаемся к исходной переменной: $0 < \operatorname{tg} x < 2$.

Решением этого двойного неравенства является серия интервалов:
$\operatorname{arctg}(0) + \pi k < x < \operatorname{arctg}(2) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как $\operatorname{arctg}(0) = 0$, получаем:
$\pi k < x < \operatorname{arctg}(2) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in (\pi k; \operatorname{arctg}(2) + \pi k), k \in \mathbb{Z}$.