Номер 22.37, страница 141, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

22.37. a) $\sin t > \frac{\sqrt{3}}{2};$

б) $\sin t > -\frac{1}{2};$

в) $\sin t < \frac{\sqrt{3}}{2};$

г) $\sin t \le -\frac{1}{2}.$

а) $ \sin t > \frac{\sqrt{3}}{2} $

Для решения тригонометрического неравенства воспользуемся единичной окружностью.

1. Сначала решим соответствующее уравнение: $ \sin t = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Корнями этого уравнения являются $ t = \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi k $ и $ t = \pi - \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi k $, где $k \in \mathbb{Z}$. Поскольку $ \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3} $, то получаем две серии решений: $ t_1 = \frac{\pi}{3} + 2\pi k $ $ t_2 = \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi k = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k $.

2. Отметим на единичной окружности точки, соответствующие углам $ \frac{\pi}{3} $ и $ \frac{2\pi}{3} $. Это точки, у которых ордината (значение синуса) равна $ \frac{\sqrt{3}}{2} $.

3. Неравенство $ \sin t > \frac{\sqrt{3}}{2} $ выполняется для всех точек на дуге единичной окружности, которые лежат выше горизонтальной прямой $ y = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

4. Эта дуга, при движении против часовой стрелки, начинается в точке $ \frac{\pi}{3} $ и заканчивается в точке $ \frac{2\pi}{3} $. Поскольку неравенство строгое, концы дуги не включаются в решение.

5. Таким образом, искомый интервал для $ t $ с учетом периодичности функции синуса (период $2\pi$) будет: $ \frac{\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k $, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $ \frac{\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $

б) $ \sin t > -\frac{1}{2} $

1. Решим уравнение $ \sin t = -\frac{1}{2} $. $ t = \arcsin(-\frac{1}{2}) + 2\pi k $ и $ t = \pi - \arcsin(-\frac{1}{2}) + 2\pi k $, где $k \in \mathbb{Z}$. Так как $ \arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6} $, получаем серии решений: $ t_1 = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k $ $ t_2 = \pi - (-\frac{\pi}{6}) + 2\pi k = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k $.

2. Отметим на единичной окружности точки, соответствующие углам $ -\frac{\pi}{6} $ и $ \frac{7\pi}{6} $. Это точки с ординатой $ -\frac{1}{2} $.

3. Нам нужны точки на окружности, которые лежат выше прямой $ y = -\frac{1}{2} $.

4. При движении против часовой стрелки, искомая дуга начинается в точке $ -\frac{\pi}{6} $ и заканчивается в точке $ \frac{7\pi}{6} $. Концы дуги не включаются.

5. Общее решение неравенства: $ -\frac{\pi}{6} + 2\pi k < t < \frac{7\pi}{6} + 2\pi k $, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $ -\frac{\pi}{6} + 2\pi k < t < \frac{7\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $

в) $ \sin t < \frac{\sqrt{3}}{2} $

1. Граничные точки интервала определяются уравнением $ \sin t = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Как мы нашли в пункте а), это точки $ t_1 = \frac{\pi}{3} $ и $ t_2 = \frac{2\pi}{3} $ (на одном обороте).

2. Неравенство $ \sin t < \frac{\sqrt{3}}{2} $ выполняется для всех точек на дуге единичной окружности, которые лежат ниже прямой $ y = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

3. Эта большая дуга является дополнением к дуге из решения пункта а). Двигаясь против часовой стрелки, она начинается в точке $ \frac{2\pi}{3} $ и заканчивается в точке $ \frac{\pi}{3} $ на следующем обороте.

4. Чтобы записать решение в виде одного непрерывного интервала, мы можем сказать, что $ t $ находится между $ \frac{2\pi}{3} $ и $ \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3} $.

5. С учетом периодичности, общее решение: $ \frac{2\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{7\pi}{3} + 2\pi k $, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $ \frac{2\pi}{3} + 2\pi k < t < \frac{7\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $

г) $ \sin t \le -\frac{1}{2} $

1. Граничные точки определяются уравнением $ \sin t = -\frac{1}{2} $. Как мы нашли в пункте б), это точки, соответствующие углам $ t_1 = -\frac{\pi}{6} $ и $ t_2 = \frac{7\pi}{6} $. Для удобства представим их на интервале $[0, 2\pi)$: $ t_1 = \frac{7\pi}{6} $ и $ t_2 = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6} $.

2. Нам нужны точки на единичной окружности, которые лежат ниже или на прямой $ y = -\frac{1}{2} $.

3. При движении против часовой стрелки, эта дуга начинается в точке $ \frac{7\pi}{6} $ и заканчивается в точке $ \frac{11\pi}{6} $. Поскольку неравенство нестрогое ($ \le $), концы дуги включаются в решение.

4. Таким образом, искомый отрезок для $ t $: $ \frac{7\pi}{6} \le t \le \frac{11\pi}{6} $.

5. Общее решение: $ \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \le t \le \frac{11\pi}{6} + 2\pi k $, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $ \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \le t \le \frac{11\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $