Номер 22.33, страница 141, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите неравенство:

22.33. а) $\cos t > \frac{1}{2}$;

б) $\cos t \le -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

в) $\cos t \ge -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

г) $\cos t < \frac{1}{2}$.

а) $ \cos t > \frac{1}{2} $

Для решения тригонометрического неравенства воспользуемся единичной окружностью. Сначала найдём значения $ t $, для которых выполняется равенство $ \cos t = \frac{1}{2} $. Решения этого уравнения: $ t = \pm\arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

На единичной окружности косинус угла $ t $ соответствует абсциссе (координате $ x $) точки, полученной поворотом точки $ (1, 0) $ на угол $ t $. Нам нужно найти все углы $ t $, для которых абсцисса соответствующей точки больше $ \frac{1}{2} $.

Отметим на оси абсцисс точку $ \frac{1}{2} $ и проведём через неё вертикальную прямую $ x = \frac{1}{2} $. Эта прямая пересекает единичную окружность в точках, соответствующих углам $ -\frac{\pi}{3} $ и $ \frac{\pi}{3} $. Нам нужны точки на окружности, которые лежат правее этой прямой, так как их абсцисса больше $ \frac{1}{2} $. Эти точки образуют дугу, заключённую между углами $ -\frac{\pi}{3} $ и $ \frac{\pi}{3} $.

Таким образом, решением неравенства на одном витке является интервал $ \left(-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right) $. Учитывая периодичность функции косинуса (период $ 2\pi $), добавляем $ 2\pi k $ к границам интервала.

Ответ: $ t \in \left(-\frac{\pi}{3} + 2\pi k; \frac{\pi}{3} + 2\pi k\right), k \in \mathbb{Z} $.

б) $ \cos t \le -\frac{\sqrt{2}}{2} $

Решим сначала уравнение $ \cos t = -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Его решения: $ t = \pm\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi k = \pm\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) + 2\pi k = \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $. Для удобства рассмотрения на одном витке возьмем решения $ t_1 = \frac{3\pi}{4} $ и $ t_2 = 2\pi - \frac{3\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} $.

На единичной окружности нам нужны точки, абсцисса которых меньше или равна $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Проведём вертикальную прямую $ x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Она пересекает окружность в точках, соответствующих углам $ \frac{3\pi}{4} $ и $ \frac{5\pi}{4} $.

Точки, удовлетворяющие неравенству, лежат на дуге левее прямой $ x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $, включая концы этой дуги. Двигаясь по окружности против часовой стрелки, мы получаем дугу от $ \frac{3\pi}{4} $ до $ \frac{5\pi}{4} $.

Следовательно, решением неравенства является отрезок $ \left[\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right] $ и все интервалы, получаемые из него сдвигом на $ 2\pi k $.

Ответ: $ t \in \left[\frac{3\pi}{4} + 2\pi k; \frac{5\pi}{4} + 2\pi k\right], k \in \mathbb{Z} $.

в) $ \cos t \ge -\frac{\sqrt{2}}{2} $

Граничные точки определяются тем же уравнением $ \cos t = -\frac{\sqrt{2}}{2} $, решения которого $ t = \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

На единичной окружности нам нужны точки, абсцисса которых больше или равна $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Это точки, лежащие на прямой $ x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ и правее неё.

Эти точки образуют дугу, концами которой являются точки, соответствующие углам $ -\frac{3\pi}{4} $ и $ \frac{3\pi}{4} $. Таким образом, на промежутке $ [-\pi, \pi] $ решением является отрезок $ \left[-\frac{3\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right] $.

Учитывая периодичность функции косинус, общее решение неравенства имеет вид:

Ответ: $ t \in \left[-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k; \frac{3\pi}{4} + 2\pi k\right], k \in \mathbb{Z} $.

г) $ \cos t < \frac{1}{2} $

Это неравенство является противоположным неравенству из пункта а). Граничные точки те же: $ t = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Нам нужны точки на единичной окружности, абсцисса которых строго меньше $ \frac{1}{2} $. Это точки, лежащие левее вертикальной прямой $ x = \frac{1}{2} $.

Эти точки образуют дугу, которая начинается в точке $ \frac{\pi}{3} $ и, при движении против часовой стрелки, заканчивается в точке $ 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} $.

Таким образом, решением неравенства на одном витке является интервал $ \left(\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}\right) $. Добавляя период $ 2\pi k $, получаем общее решение.

Ответ: $ t \in \left(\frac{\pi}{3} + 2\pi k; \frac{5\pi}{3} + 2\pi k\right), k \in \mathbb{Z} $.