Номер 22.31, страница 140, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

22.31. Решите уравнение $\cos \left(\frac{\pi}{3} - 2x\right) = \frac{1}{2}$ и найдите:

а) наименьший положительный корень;

б) корни, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$;

в) наибольший отрицательный корень;

г) корни, принадлежащие интервалу $\left(-\pi; \frac{\pi}{2}\right)$.

Сначала решим уравнение $cos(\frac{\pi}{3} - 2x) = \frac{1}{2}$.

Поскольку функция косинус является четной, то есть $cos(-\alpha) = cos(\alpha)$, мы можем переписать уравнение в виде:

$cos(2x - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

Это базовое тригонометрическое уравнение. Его решение находится по формуле:

$2x - \frac{\pi}{3} = \pm arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi k$, где $k \in Z$ (целое число).

Так как $arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$, получаем:

$2x - \frac{\pi}{3} = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k$

Разобьем решение на два случая.

Случай 1 (со знаком "+"):

$2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

$2x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

$2x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$

Разделим обе части на 2:

$x = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in Z$

Случай 2 (со знаком "-"):

$2x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$

$2x = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

$2x = 2\pi k$

Разделим обе части на 2:

$x = \pi k, k \in Z$

Таким образом, мы получили две серии корней уравнения: $x_1 = \frac{\pi}{3} + \pi k$ и $x_2 = \pi k$. Теперь найдем корни, удовлетворяющие заданным условиям.

а) наименьший положительный корень;

Переберем значения $k$ для каждой серии, чтобы найти наименьший корень больше нуля.

Для серии $x = \pi k$:

• При $k=0$, $x = 0$ (не положительный).
• При $k=1$, $x = \pi$.

Наименьший положительный корень в этой серии: $\pi$.

Для серии $x = \frac{\pi}{3} + \pi k$:

• При $k=-1$, $x = \frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{2\pi}{3}$ (отрицательный).
• При $k=0$, $x = \frac{\pi}{3}$.

Наименьший положительный корень в этой серии: $\frac{\pi}{3}$.

Сравнивая два наименьших положительных корня из обеих серий ($\pi$ и $\frac{\pi}{3}$), выбираем наименьший из них. Так как $\frac{\pi}{3} < \pi$, наименьший положительный корень уравнения равен $\frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$

б) корни, принадлежащие отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$;

Найдем корни, удовлетворяющие неравенству $-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{3\pi}{2}$.

Для серии $x = \pi k$:

$-\frac{\pi}{2} \le \pi k \le \frac{3\pi}{2} \implies -\frac{1}{2} \le k \le \frac{3}{2}$.

Целые значения $k$, удовлетворяющие этому условию: $k=0, k=1$.

При $k=0 \implies x = 0$.

При $k=1 \implies x = \pi$.

Для серии $x = \frac{\pi}{3} + \pi k$:

$-\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{3} + \pi k \le \frac{3\pi}{2} \implies -\frac{1}{2} \le \frac{1}{3} + k \le \frac{3}{2} \implies -\frac{1}{2} - \frac{1}{3} \le k \le \frac{3}{2} - \frac{1}{3} \implies -\frac{5}{6} \le k \le \frac{7}{6}$.

Целые значения $k$, удовлетворяющие этому условию: $k=0, k=1$.

При $k=0 \implies x = \frac{\pi}{3}$.

При $k=1 \implies x = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3}$.

Объединяем все найденные корни и располагаем их в порядке возрастания: $0, \frac{\pi}{3}, \pi, \frac{4\pi}{3}$.

Ответ: $0, \frac{\pi}{3}, \pi, \frac{4\pi}{3}$

в) наибольший отрицательный корень;

Переберем значения $k$ для каждой серии, чтобы найти наибольший корень меньше нуля.

Для серии $x = \pi k$:

• При $k=0$, $x=0$ (не отрицательный).
• При $k=-1$, $x = -\pi$.

Наибольший отрицательный корень в этой серии: $-\pi$.

Для серии $x = \frac{\pi}{3} + \pi k$:

• При $k=0$, $x=\frac{\pi}{3}$ (положительный).
• При $k=-1$, $x = \frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{2\pi}{3}$.
• При $k=-2$, $x = \frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{5\pi}{3}$.

Наибольший отрицательный корень в этой серии: $-\frac{2\pi}{3}$.

Сравнивая два наибольших отрицательных корня из обеих серий ($-\pi$ и $-\frac{2\pi}{3}$), выбираем наибольший. Так как $-\frac{2}{3} > -1$, то $-\frac{2\pi}{3} > -\pi$.

Ответ: $-\frac{2\pi}{3}$

г) корни, принадлежащие интервалу $(-\pi; \frac{\pi}{2})$.

Найдем корни, удовлетворяющие строгому неравенству $-\pi < x < \frac{\pi}{2}$.

Для серии $x = \pi k$:

$-\pi < \pi k < \frac{\pi}{2} \implies -1 < k < \frac{1}{2}$.

Единственное целое значение $k$, удовлетворяющее этому условию: $k=0$.

При $k=0 \implies x = 0$.

Для серии $x = \frac{\pi}{3} + \pi k$:

$-\pi < \frac{\pi}{3} + \pi k < \frac{\pi}{2} \implies -1 < \frac{1}{3} + k < \frac{1}{2} \implies -1 - \frac{1}{3} < k < \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \implies -\frac{4}{3} < k < \frac{1}{6}$.

Целые значения $k$, удовлетворяющие этому условию: $k=-1, k=0$.

При $k=-1 \implies x = \frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{2\pi}{3}$.

При $k=0 \implies x = \frac{\pi}{3}$.

Объединяем все найденные корни и располагаем их в порядке возрастания: $-\frac{2\pi}{3}, 0, \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $-\frac{2\pi}{3}, 0, \frac{\pi}{3}$