Номер 22.38, страница 141, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

22.38. а) $\sin t < \frac{1}{3}$;

б) $\sin t \ge -0,6$;

в) $\sin t \ge \frac{1}{3}$;

г) $\sin t < -0,6$.

а) Для решения неравенства $\sin t < \frac{1}{3}$ сначала рассмотрим соответствующее уравнение $\sin t = \frac{1}{3}$. Его решениями, которые являются граничными точками для искомого интервала, являются $t_1 = \arcsin(\frac{1}{3})$ и $t_2 = \pi - \arcsin(\frac{1}{3})$. На единичной окружности неравенству $\sin t < \frac{1}{3}$ удовлетворяют точки, лежащие ниже прямой $y = \frac{1}{3}$. Эта область представляет собой дугу, которая при обходе против часовой стрелки начинается от точки, соответствующей углу $\pi - \arcsin(\frac{1}{3})$, и заканчивается в точке, соответствующей углу $2\pi + \arcsin(\frac{1}{3})$. Учитывая периодичность функции синус (период $2\pi$), общее решение неравенства записывается как интервал.
Ответ: $(\pi - \arcsin(\frac{1}{3}) + 2\pi n; 2\pi + \arcsin(\frac{1}{3}) + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

б) Для решения неравенства $\sin t \ge -0,6$ сначала находим решения уравнения $\sin t = -0,6$. Корни этого уравнения: $t_1 = \arcsin(-0,6) = -\arcsin(0,6)$ и $t_2 = \pi - \arcsin(-0,6) = \pi + \arcsin(0,6)$. На единичной окружности неравенству $\sin t \ge -0,6$ соответствуют точки, ордината которых больше или равна $-0,6$. Эти точки образуют дугу, заключённую между углами $t_1$ и $t_2$. При движении против часовой стрелки дуга начинается в точке $-\arcsin(0,6)$ и заканчивается в точке $\pi + \arcsin(0,6)$. Так как неравенство нестрогое, концы интервала включаются в решение. Учитывая периодичность, получаем общее решение.
Ответ: $[-\arcsin(0,6) + 2\pi n; \pi + \arcsin(0,6) + 2\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

в) Для решения неравенства $\sin t \ge \frac{1}{3}$ найдём корни уравнения $\sin t = \frac{1}{3}$. Это $t_1 = \arcsin(\frac{1}{3})$ и $t_2 = \pi - \arcsin(\frac{1}{3})$. Неравенству удовлетворяют точки на единичной окружности, ординаты которых не меньше $\frac{1}{3}$. Эти точки образуют дугу, которая начинается в $t_1$ и заканчивается в $t_2$ при движении против часовой стрелки. Поскольку неравенство нестрогое, граничные точки включаются в решение. Общее решение с учётом периода функции синус ($2\pi n$) имеет вид.
Ответ: $[\arcsin(\frac{1}{3}) + 2\pi n; \pi - \arcsin(\frac{1}{3}) + 2\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

г) Чтобы решить неравенство $\sin t < -0,6$, найдём решения уравнения $\sin t = -0,6$. Корнями являются $t_1 = \arcsin(-0,6) = -\arcsin(0,6)$ и $t_2 = \pi - \arcsin(-0,6) = \pi + \arcsin(0,6)$. Неравенству $\sin t < -0,6$ соответствуют точки на единичной окружности, ординаты которых строго меньше $-0,6$. Эти точки образуют дугу, которая при движении против часовой стрелки начинается от точки $\pi + \arcsin(0,6)$ и заканчивается в точке $2\pi + \arcsin(-0,6) = 2\pi - \arcsin(0,6)$. Неравенство строгое, поэтому концы интервала не включаются. Добавляя период $2\pi n$, получаем общее решение.
Ответ: $(\pi + \arcsin(0,6) + 2\pi n; 2\pi - \arcsin(0,6) + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.