Номер 22.15, страница 138, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

22.15. a) $ctg x = -\sqrt{3}$;

б) $ctg x = -1$;

В) $ctg x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$;

Г) $ctg x = -5$.

а)

Дано тригонометрическое уравнение $ctg x = -\sqrt{3}$.

Общая формула для решения уравнения $ctg x = a$ имеет вид $x = arcctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = -\sqrt{3}$. Подставляем это значение в формулу:

$x = arcctg(-\sqrt{3}) + \pi n$.

Для нахождения значения арккотангенса отрицательного числа используем свойство $arcctg(-a) = \pi - arcctg(a)$.

$arcctg(-\sqrt{3}) = \pi - arcctg(\sqrt{3})$.

Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $ctg(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$. Следовательно, $arcctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.

Тогда $arcctg(-\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi - \pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Таким образом, общее решение уравнения:

$x = \frac{5\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{5\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Дано тригонометрическое уравнение $ctg x = -1$.

Используем общую формулу для решения $x = arcctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = -1$, поэтому:

$x = arcctg(-1) + \pi n$.

Применяем свойство $arcctg(-a) = \pi - arcctg(a)$:

$arcctg(-1) = \pi - arcctg(1)$.

Мы знаем, что $ctg(\frac{\pi}{4}) = 1$, значит $arcctg(1) = \frac{\pi}{4}$.

Подставляем значение: $arcctg(-1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi - \pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Общее решение уравнения:

$x = \frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в)

Дано тригонометрическое уравнение $ctg x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Общее решение ищется по формуле $x = arcctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В этом случае $a = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

$x = arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) + \pi n$.

Используем свойство $arcctg(-a) = \pi - arcctg(a)$:

$arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3})$.

Известно, что $ctg(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$, поэтому $arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3}$.

Находим значение: $arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - \pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Общее решение уравнения:

$x = \frac{2\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{2\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г)

Дано тригонометрическое уравнение $ctg x = -5$.

Общее решение уравнения $ctg x = a$ имеет вид $x = arcctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Для $a = -5$, решение записывается как:

$x = arcctg(-5) + \pi n$.

Значение $arcctg(-5)$ не является табличным значением, поэтому ответ принято оставлять в такой форме, выраженной через функцию арккотангенса.

Также можно представить ответ, используя тождество $arcctg(-a) = \pi - arcctg(a)$: $x = \pi - arcctg(5) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Обе формы записи эквивалентны и верны.

Ответ: $x = arcctg(-5) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.