Номер 22.11, страница 137, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

22.11. a) $\sin^2 \frac{3x}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin x - \cos^2 \frac{3x}{4} + 1;$

б) $\cos^2 2x - 1 - \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} - \sin^2 2x.$

а) Дано уравнение:
$\sin^2\frac{3x}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin x - \cos^2\frac{3x}{4} + 1$
Перенесем все члены с аргументом $\frac{3x}{4}$ в левую часть, а остальные — в правую, чтобы сгруппировать их:
$\sin^2\frac{3x}{4} + \cos^2\frac{3x}{4} = \sin x + 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$
Ой, ошибка в переносе. Вернемся к исходному уравнению и перенесем $\cos^2\frac{3x}{4}$ в левую часть:
$\sin^2\frac{3x}{4} + \cos^2\frac{3x}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin x + 1$
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. В нашем случае $\alpha = \frac{3x}{4}$:
$1 - \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin x + 1$
Теперь вычтем 1 из обеих частей уравнения:
$-\frac{\sqrt{2}}{2} = \sin x$
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его общее решение находится по формуле $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $n \in \mathbb{Z}$:
$x = (-1)^n \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi n$
Так как $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$, то:
$x = (-1)^n (-\frac{\pi}{4}) + \pi n = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Дано уравнение:
$\cos^2 2x - 1 - \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} - \sin^2 2x$
Перенесем член $-\sin^2 2x$ из правой части в левую:
$\cos^2 2x + \sin^2 2x - 1 - \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ для $\alpha = 2x$:
$1 - 1 - \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Упростим левую часть уравнения:
$-\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Умножим обе части на -1:
$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его общее решение находится по формуле $x = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $n \in \mathbb{Z}$:
$x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n$
Значение арккосинуса равно $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Подставляем это значение в формулу решения:
$x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.