Номер 22.5, страница 136, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 22. Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства. Глава 4. Тригонометрические уравнения. ч. 2 - номер 22.5, страница 136.

22.5. a) $6 \cos^2 x + 5 \cos x + 1 = 0;$

б) $3 + 9 \cos x = 5 \sin^2 x.$

а) $6 \cos^2 x + 5 \cos x + 1 = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно $\cos x$. Выполним замену переменной. Пусть $t = \cos x$, при этом должно выполняться условие $|t| \le 1$.

После замены уравнение принимает вид:

$6t^2 + 5t + 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$

Найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$

Оба найденных значения $t_1 = -1/3$ и $t_2 = -1/2$ удовлетворяют условию $|t| \le 1$.

Теперь выполним обратную замену:

1. $\cos x = -\frac{1}{3}$

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия корней: $x = \pm \arccos(-\frac{1}{3}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. $\cos x = -\frac{1}{2}$

Это табличное значение. Решением является серия корней: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \arccos(-\frac{1}{3}) + 2\pi k, \quad x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $3 + 9 \cos x = 5 \sin^2 x$

Чтобы привести уравнение к одной тригонометрической функции, используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, откуда $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$3 + 9 \cos x = 5(1 - \cos^2 x)$

Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в одну сторону:

$3 + 9 \cos x = 5 - 5 \cos^2 x$

$5 \cos^2 x + 9 \cos x + 3 - 5 = 0$

$5 \cos^2 x + 9 \cos x - 2 = 0$

Снова получили квадратное уравнение относительно $\cos x$. Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$.

$5t^2 + 9t - 2 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 81 + 40 = 121 = 11^2$

Найдем корни:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + 11}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - 11}{2 \cdot 5} = \frac{-20}{10} = -2$

Проверим корни на соответствие условию $|t| \le 1$.

Корень $t_1 = 1/5$ удовлетворяет условию.

Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет условию, так как значение косинуса не может быть меньше -1. Этот корень является посторонним.

Выполним обратную замену для единственного подходящего корня:

$\cos x = \frac{1}{5}$

Решением этого уравнения является серия корней: $x = \pm \arccos(\frac{1}{5}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \arccos(\frac{1}{5}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.