Номер 22.2, страница 136, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

22.2. a) $\cos x = \frac{1}{3}$;

б) $\cos x = -1,1$;

в) $\cos x = -\frac{\sqrt{5}}{3}$;

г) $\cos x = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

а)

Дано уравнение: $ \cos x = \frac{1}{3} $.

Для решения тригонометрического уравнения вида $ \cos x = a $ необходимо проверить, выполняется ли условие $ |a| \le 1 $, так как область значений функции косинус $ E(\cos x) = [-1; 1] $.

В данном случае $ a = \frac{1}{3} $.

Проверим условие: $ |\frac{1}{3}| = \frac{1}{3} $. Так как $ -1 \le \frac{1}{3} \le 1 $, уравнение имеет решения.

Общая формула для решения уравнения $ \cos x = a $ имеет вид: $ x = \pm \arccos(a) + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $ (n - любое целое число).

Подставляя наше значение $ a = \frac{1}{3} $, получаем:

$ x = \pm \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Поскольку $ \frac{1}{3} $ не является табличным значением для косинуса, ответ остается в таком виде.

Ответ: $ x = \pm \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

б)

Дано уравнение: $ \cos x = -1,1 $.

Область значений функции $ y = \cos x $ - это отрезок $ [-1; 1] $. Это означает, что для любого действительного числа $ x $ должно выполняться неравенство $ -1 \le \cos x \le 1 $.

В данном уравнении требуется найти $ x $, для которого $ \cos x = -1,1 $.

Так как число $ -1,1 $ не принадлежит отрезку $ [-1; 1] $ (поскольку $ -1,1 < -1 $), данное уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: решений нет.

в)

Дано уравнение: $ \cos x = -\frac{\sqrt{5}}{3} $.

Сначала проверим, имеет ли уравнение решения. Для этого необходимо сравнить модуль правой части с единицей: $ |-\frac{\sqrt{5}}{3}| \le 1 $.

$ |-\frac{\sqrt{5}}{3}| = \frac{\sqrt{5}}{3} $.

Сравним $ \frac{\sqrt{5}}{3} $ и $ 1 $. Это эквивалентно сравнению $ \sqrt{5} $ и $ 3 $.

Возведем оба числа в квадрат: $ (\sqrt{5})^2 = 5 $ и $ 3^2 = 9 $.

Так как $ 5 < 9 $, то $ \sqrt{5} < 3 $, и, следовательно, $ \frac{\sqrt{5}}{3} < 1 $.

Условие $ |a| \le 1 $ выполнено, значит, уравнение имеет решения.

Используем общую формулу для решения: $ x = \pm \arccos(a) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Подставляем $ a = -\frac{\sqrt{5}}{3} $:

$ x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{5}}{3}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Можно также использовать свойство арккосинуса $ \arccos(-a) = \pi - \arccos(a) $ для $ a \in [0, 1] $. Тогда решение можно записать в виде:

$ x = \pm (\pi - \arccos(\frac{\sqrt{5}}{3})) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Оба варианта записи ответа являются верными.

Ответ: $ x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{5}}{3}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

г)

Дано уравнение: $ \cos x = \frac{\sqrt{5}}{2} $.

Проверим, выполняется ли условие $ |a| \le 1 $, где $ a = \frac{\sqrt{5}}{2} $.

Для этого сравним $ \frac{\sqrt{5}}{2} $ с $ 1 $.

Сравним $ \sqrt{5} $ и $ 2 $.

Возведем оба числа в квадрат: $ (\sqrt{5})^2 = 5 $ и $ 2^2 = 4 $.

Так как $ 5 > 4 $, то $ \sqrt{5} > 2 $, и, следовательно, $ \frac{\sqrt{5}}{2} > 1 $.

Поскольку значение $ \frac{\sqrt{5}}{2} $ выходит за пределы области значений функции косинуса $ [-1; 1] $, данное уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: решений нет.