Номер 22.4, страница 136, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

22.4. а) $\frac{8 \cos x - 3}{3 \cos x + 2} = 1;$

б) $\frac{3 \cos x + 1}{2} + \frac{5 \cos x - 1}{3} = 1,75.$

а)

Дано уравнение: $ \frac{8 \cos x - 3}{3 \cos x + 2} = 1 $. Для упрощения введем замену переменной. Пусть $ t = \cos x $. Поскольку область значений функции косинус $ [-1; 1] $, то должно выполняться условие $ -1 \le t \le 1 $. После замены уравнение принимает вид: $ \frac{8t - 3}{3t + 2} = 1 $.

Определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $ t $. Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $ 3t + 2 \neq 0 $, откуда $ t \neq -\frac{2}{3} $.

Решим полученное рациональное уравнение. Умножим обе части на знаменатель $ (3t + 2) $, учитывая, что он не равен нулю: $ 8t - 3 = 1 \cdot (3t + 2) $
$ 8t - 3 = 3t + 2 $

Соберем слагаемые с переменной $ t $ в левой части, а константы — в правой: $ 8t - 3t = 2 + 3 $
$ 5t = 5 $
$ t = 1 $

Проверим, соответствует ли найденный корень $ t = 1 $ ранее установленным ограничениям. Условие $ -1 \le 1 \le 1 $ выполнено. Условие $ 1 \neq -\frac{2}{3} $ также выполнено. Следовательно, $ t = 1 $ является решением.

Теперь выполним обратную замену: $ \cos x = 1 $.

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения, решение которого: $ x = 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $ (где $ \mathbb{Z} $ — множество целых чисел).

Ответ: $ x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

б)

Дано уравнение: $ \frac{3 \cos x + 1}{2} + \frac{5 \cos x - 1}{3} = 1,75 $. Введем замену $ t = \cos x $, с ограничением $ -1 \le t \le 1 $. Представим десятичную дробь $ 1,75 $ в виде обыкновенной: $ 1,75 = \frac{175}{100} = \frac{7}{4} $. Уравнение принимает вид: $ \frac{3t + 1}{2} + \frac{5t - 1}{3} = \frac{7}{4} $.

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное чисел 2, 3 и 4, которое равно 12: $ 12 \cdot \left(\frac{3t + 1}{2}\right) + 12 \cdot \left(\frac{5t - 1}{3}\right) = 12 \cdot \left(\frac{7}{4}\right) $
$ 6(3t + 1) + 4(5t - 1) = 3(7) $

Раскроем скобки и упростим выражение: $ 18t + 6 + 20t - 4 = 21 $
$ 38t + 2 = 21 $

Решим полученное линейное уравнение: $ 38t = 21 - 2 $
$ 38t = 19 $
$ t = \frac{19}{38} = \frac{1}{2} $

Проверим, удовлетворяет ли корень $ t = \frac{1}{2} $ ограничению $ -1 \le t \le 1 $. Условие $ -1 \le \frac{1}{2} \le 1 $ выполнено. Значит, корень подходит.

Выполним обратную замену: $ \cos x = \frac{1}{2} $.

Общее решение этого тригонометрического уравнения находится по формуле $ x = \pm \arccos(a) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $: $ x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n $
$ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.