Номер 22.7, страница 137, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

22.7. a) $ \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}; $

б) $ \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}; $

В) $ \sin x = -1; $

Г) $ \sin x = -\frac{1}{2}. $

а) Дано уравнение $ \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} $. Общая формула для решения уравнения $ \sin x = a $ (при $ |a| \le 1 $) выглядит так: $ x = (-1)^k \arcsin a + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $. В нашем случае $ a = -\frac{\sqrt{3}}{2} $. Поскольку арксинус является нечетной функцией, $ \arcsin(-y) = -\arcsin y $. Мы знаем, что $ \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3} $. Следовательно, $ \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3} $. Подставляем это значение в общую формулу: $ x = (-1)^k \cdot (-\frac{\pi}{3}) + \pi k $, $ k \in \mathbb{Z} $. Это выражение можно упростить, используя свойство степеней $ (-1)^k \cdot (-1) = (-1)^{k+1} $: $ x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k $, $ k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

б) Дано уравнение $ \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Используем общую формулу для решения: $ x = (-1)^k \arcsin a + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $. Здесь $ a = -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Используя свойство нечетности арксинуса ($ \arcsin(-y) = -\arcsin y $), найдем $ \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) $. Так как $ \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4} $, то $ \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4} $. Подставляем в формулу: $ x = (-1)^k \cdot (-\frac{\pi}{4}) + \pi k $, $ k \in \mathbb{Z} $. Упрощаем: $ x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k $, $ k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

в) Дано уравнение $ \sin x = -1 $. Это частный случай тригонометрического уравнения. Синус равен -1 в точках, соответствующих нижней точке единичной окружности. Первое такое значение угла (главное значение) — это $ x = -\frac{\pi}{2} $. Поскольку синус — периодическая функция с периодом $ 2\pi $, все решения можно найти, прибавляя к главному значению целые кратные периода. Таким образом, решение имеет вид: $ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

г) Дано уравнение $ \sin x = -\frac{1}{2} $. Применим общую формулу решения $ x = (-1)^k \arcsin a + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $. В этом уравнении $ a = -\frac{1}{2} $. Находим $ \arcsin(-\frac{1}{2}) $. Мы знаем, что $ \arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6} $. Благодаря нечетности арксинуса, $ \arcsin(-\frac{1}{2}) = -\arcsin(\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6} $. Подставляем значение в общую формулу: $ x = (-1)^k \cdot (-\frac{\pi}{6}) + \pi k $, $ k \in \mathbb{Z} $. После упрощения получаем: $ x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k $, $ k \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.