Номер 22.12, страница 137, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

22.12. a) $tg x = 1;$

б) $tg x = -\frac{\sqrt{3}}{3};$

в) $tg x = -1;$

г) $tg x = \frac{\sqrt{3}}{3}.$

а) Дано уравнение $\operatorname{tg} x = 1$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнений вида $\operatorname{tg} x = a$ находится по формуле $x = \operatorname{arctg}(a) + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
В данном случае $a = 1$.
Частное решение, или главное значение арктангенса, для $a=1$ равно $\operatorname{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$.
Подставляя это значение в общую формулу, получаем все решения уравнения:
$x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Дано уравнение $\operatorname{tg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Используем общую формулу для решения $x = \operatorname{arctg}(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$, где $a = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Функция арктангенс является нечетной, что означает $\operatorname{arctg}(-a) = -\operatorname{arctg}(a)$.
Применим это свойство: $\operatorname{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\operatorname{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$.
Табличное значение для $\operatorname{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$ равно $\frac{\pi}{6}$.
Следовательно, частное решение равно $-\frac{\pi}{6}$.
Общее решение уравнения:
$x = -\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Дано уравнение $\operatorname{tg} x = -1$.
Общее решение находится по формуле $x = \operatorname{arctg}(-1) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Используя свойство нечетности функции арктангенс, получаем: $\operatorname{arctg}(-1) = -\operatorname{arctg}(1)$.
Так как $\operatorname{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$, то частное решение равно $-\frac{\pi}{4}$.
Подставляем это значение в формулу для общего решения:
$x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) Дано уравнение $\operatorname{tg} x = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Общее решение имеет вид $x = \operatorname{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Находим табличное значение арктангенса: $\operatorname{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\pi}{6}$.
Записываем общее решение данного уравнения:
$x = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.