Номер 22.18, страница 138, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

22.18. a) $\sin 2x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

б) $\cos \frac{x}{3} = -\frac{1}{2}$;

в) $\sin \frac{x}{4} = \frac{1}{2}$;

г) $\cos 4x = 0.$

а) $sin(2x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $sin(t) = a$. Его общее решение находится по формуле $t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном уравнении $t = 2x$ и $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Значение арксинуса от $\frac{\sqrt{2}}{2}$ равно $\frac{\pi}{4}$.

Подставляем эти значения в общую формулу:

$2x = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{(-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k}{2}$

$x = (-1)^k \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos\frac{x}{3} = -\frac{1}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\cos(t) = a$. Его общее решение находится по формуле $t = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном уравнении $t = \frac{x}{3}$ и $a = -\frac{1}{2}$.

Значение арккосинуса от $-\frac{1}{2}$ равно $\frac{2\pi}{3}$ (так как $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$).

Подставляем эти значения в общую формулу:

$\frac{x}{3} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Теперь, чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 3:

$x = 3 \cdot (\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k)$

$x = \pm 2\pi + 6\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm 2\pi + 6\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) $\sin\frac{x}{4} = \frac{1}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $sin(t) = a$. Его общее решение находится по формуле $t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном уравнении $t = \frac{x}{4}$ и $a = \frac{1}{2}$.

Значение арксинуса от $\frac{1}{2}$ равно $\frac{\pi}{6}$.

Подставляем эти значения в общую формулу:

$\frac{x}{4} = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Теперь, чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 4:

$x = 4 \cdot ((-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k)$

$x = (-1)^k \frac{4\pi}{6} + 4\pi k$

Сократив дробь, получаем:

$x = (-1)^k \frac{2\pi}{3} + 4\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = (-1)^k \frac{2\pi}{3} + 4\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $\cos 4x = 0$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения $\cos(t) = 0$.

Решение уравнения $\cos(t) = 0$ записывается формулой $t = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном уравнении $t = 4x$.

Подставляем $t$ в формулу решения:

$4x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 4:

$x = \frac{\frac{\pi}{2} + \pi k}{4}$

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$.