Номер 22.3, страница 136, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

22.3. Найдите корни уравнения на заданном промежутке:

a) $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}, x \in [0; 2\pi];$

б) $\cos x = -\frac{1}{2}, x \in [2\pi; 4\pi];$

в) $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}, x \in [-\pi; 3\pi];$

г) $\cos x = -1, x \in \left[-\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right].$

а) Дано уравнение $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ на промежутке $x \in [0; 2\pi]$.

Общее решение уравнения $\cos x = a$ имеет вид $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$, и $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$.

Следовательно, общее решение: $x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$.

Это дает две серии корней:

1. $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
2. $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$

Теперь отберем корни, принадлежащие заданному промежутку $[0; 2\pi]$.

Для первой серии $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ решим двойное неравенство:

$0 \le \frac{\pi}{6} + 2\pi k \le 2\pi$

Разделив на $\pi$, получаем: $0 \le \frac{1}{6} + 2k \le 2$.

Вычитаем $\frac{1}{6}$: $-\frac{1}{6} \le 2k \le \frac{11}{6}$.

Делим на 2: $-\frac{1}{12} \le k \le \frac{11}{12}$.

Единственное целое значение $k$, удовлетворяющее этому условию, это $k=0$. При $k=0$ корень $x = \frac{\pi}{6}$.

Для второй серии $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$ решим двойное неравенство:

$0 \le -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \le 2\pi$

Разделив на $\pi$, получаем: $0 \le -\frac{1}{6} + 2k \le 2$.

Прибавляем $\frac{1}{6}$: $\frac{1}{6} \le 2k \le \frac{13}{6}$.

Делим на 2: $\frac{1}{12} \le k \le \frac{13}{12}$.

Единственное целое значение $k$, удовлетворяющее этому условию, это $k=1$. При $k=1$ корень $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$.

Ответ: $\frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$.

б) Дано уравнение $\cos x = -\frac{1}{2}$ на промежутке $x \in [2\pi; 4\pi]$.

Общее решение: $x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}$, то общее решение: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$.

Отберем корни, принадлежащие промежутку $[2\pi; 4\pi]$.

Для серии $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$:

$2\pi \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \le 4\pi$

$2 \le \frac{2}{3} + 2k \le 4 \implies 2 - \frac{2}{3} \le 2k \le 4 - \frac{2}{3} \implies \frac{4}{3} \le 2k \le \frac{10}{3} \implies \frac{2}{3} \le k \le \frac{5}{3}$.

Единственное целое $k$ — это $k=1$. Корень: $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3}$.

Для серии $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$:

$2\pi \le -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \le 4\pi$

$2 \le -\frac{2}{3} + 2k \le 4 \implies 2 + \frac{2}{3} \le 2k \le 4 + \frac{2}{3} \implies \frac{8}{3} \le 2k \le \frac{14}{3} \implies \frac{4}{3} \le k \le \frac{7}{3}$.

Единственное целое $k$ — это $k=2$. Корень: $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi \cdot 2 = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{10\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{8\pi}{3}, \frac{10\pi}{3}$.

в) Дано уравнение $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ на промежутке $x \in [-\pi; 3\pi]$.

Общее решение: $x = \pm \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{3\pi}{4}$, то общее решение: $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$.

Отберем корни, принадлежащие промежутку $[-\pi; 3\pi]$.

Для серии $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$:

$-\pi \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le 3\pi$

$-1 \le \frac{3}{4} + 2k \le 3 \implies -1 - \frac{3}{4} \le 2k \le 3 - \frac{3}{4} \implies -\frac{7}{4} \le 2k \le \frac{9}{4} \implies -\frac{7}{8} \le k \le \frac{9}{8}$.

Целые значения $k$: $0, 1$.

При $k=0, x = \frac{3\pi}{4}$.

При $k=1, x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4}$.

Для серии $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$:

$-\pi \le -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le 3\pi$

$-1 \le -\frac{3}{4} + 2k \le 3 \implies -1 + \frac{3}{4} \le 2k \le 3 + \frac{3}{4} \implies -\frac{1}{4} \le 2k \le \frac{15}{4} \implies -\frac{1}{8} \le k \le \frac{15}{8}$.

Целые значения $k$: $0, 1$.

При $k=0, x = -\frac{3\pi}{4}$.

При $k=1, x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{5\pi}{4}$.

Ответ: $-\frac{3\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{11\pi}{4}$.

г) Дано уравнение $\cos x = -1$ на промежутке $x \in \left[-\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right]$.

Это частный случай тригонометрического уравнения. Его общее решение имеет вид: $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Отберем корни, принадлежащие промежутку $\left[-\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right]$.

Решим двойное неравенство:

$-\frac{3\pi}{2} \le \pi + 2\pi k \le 2\pi$

Разделив на $\pi$, получаем: $-\frac{3}{2} \le 1 + 2k \le 2$.

Вычитаем 1: $-\frac{3}{2} - 1 \le 2k \le 2 - 1 \implies -\frac{5}{2} \le 2k \le 1$.

Делим на 2: $-\frac{5}{4} \le k \le \frac{1}{2}$, то есть $-1.25 \le k \le 0.5$.

Целые значения $k$, удовлетворяющие этому условию: $k=-1$ и $k=0$.

При $k=-1, x = \pi + 2\pi(-1) = -\pi$.

При $k=0, x = \pi + 2\pi(0) = \pi$.

Ответ: $-\pi, \pi$.