Номер 21.62, страница 135, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

21.62. a) $8 \arcsin^2 x + 2\pi \arcsin x < \pi^2$;

б) $18 \operatorname{arctg}^2 x - 3\pi \operatorname{arctg} x \ge \pi^2$;

в) $9 \arccos^2 x \le 9\pi \arccos x - 2\pi^2$;

г) $16 \operatorname{arcctg}^2 x + 3\pi^2 > 16\pi \operatorname{arcctg} x$.

а) $8 \arcsin^2 x + 2\pi \arcsin x < \pi^2$

Перенесем все члены в левую часть неравенства:
$8 \arcsin^2 x + 2\pi \arcsin x - \pi^2 < 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \arcsin x$. Учитывая область значений арксинуса, $t \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Получим квадратное неравенство относительно $t$:
$8t^2 + 2\pi t - \pi^2 < 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $8t^2 + 2\pi t - \pi^2 = 0$.
Дискриминант $D = (2\pi)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-\pi^2) = 4\pi^2 + 32\pi^2 = 36\pi^2 = (6\pi)^2$.
Корни уравнения: $t_1 = \frac{-2\pi - 6\pi}{2 \cdot 8} = \frac{-8\pi}{16} = -\frac{\pi}{2}$
$t_2 = \frac{-2\pi + 6\pi}{2 \cdot 8} = \frac{4\pi}{16} = \frac{\pi}{4}$
Так как ветви параболы $y = 8t^2 + 2\pi t - \pi^2$ направлены вверх, неравенство выполняется между корнями: $-\frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{4}$.
Учтем ограничение на $t$: $t \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Пересечение множеств $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4})$ и $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ дает интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4})$.
Выполним обратную замену: $-\frac{\pi}{2} < \arcsin x < \frac{\pi}{4}$
Функция $y = \sin x$ является возрастающей на отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, поэтому, применив ее ко всем частям неравенства, знаки неравенства сохранятся:
$\sin(-\frac{\pi}{2}) < \sin(\arcsin x) < \sin(\frac{\pi}{4})$
$-1 < x < \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $x \in (-1; \frac{\sqrt{2}}{2})$.

б) $18 \operatorname{arctg}^2 x - 3\pi \operatorname{arctg} x \ge \pi^2$

Перенесем все члены в левую часть:
$18 \operatorname{arctg}^2 x - 3\pi \operatorname{arctg} x - \pi^2 \ge 0$
Сделаем замену. Пусть $t = \operatorname{arctg} x$. Область значений арктангенса: $t \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Получим неравенство: $18t^2 - 3\pi t - \pi^2 \ge 0$
Найдем корни уравнения $18t^2 - 3\pi t - \pi^2 = 0$.
Дискриминант $D = (-3\pi)^2 - 4 \cdot 18 \cdot (-\pi^2) = 9\pi^2 + 72\pi^2 = 81\pi^2 = (9\pi)^2$.
Корни: $t_1 = \frac{3\pi - 9\pi}{2 \cdot 18} = \frac{-6\pi}{36} = -\frac{\pi}{6}$
$t_2 = \frac{3\pi + 9\pi}{2 \cdot 18} = \frac{12\pi}{36} = \frac{\pi}{3}$
Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $t \le -\frac{\pi}{6}$ или $t \ge \frac{\pi}{3}$.
Учтем ограничение $t \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Получаем совокупность: $-\frac{\pi}{2} < t \le -\frac{\pi}{6}$ или $\frac{\pi}{3} \le t < \frac{\pi}{2}$.
Возвращаемся к $x$: $-\frac{\pi}{2} < \operatorname{arctg} x \le -\frac{\pi}{6}$ или $\frac{\pi}{3} \le \operatorname{arctg} x < \frac{\pi}{2}$.
Функция $y = \operatorname{tg} x$ возрастает на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, поэтому: $\operatorname{tg}(-\frac{\pi}{2}) < x \le \operatorname{tg}(-\frac{\pi}{6})$ или $\operatorname{tg}(\frac{\pi}{3}) \le x < \operatorname{tg}(\frac{\pi}{2})$.
Поскольку $\operatorname{tg} y \to -\infty$ при $y \to -\frac{\pi}{2}^+$ и $\operatorname{tg} y \to +\infty$ при $y \to \frac{\pi}{2}^-$, получаем: $-\infty < x \le -\frac{\sqrt{3}}{3}$ или $\sqrt{3} \le x < +\infty$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{\sqrt{3}}{3}] \cup [\sqrt{3}; +\infty)$.

в) $9 \arccos^2 x \le 9\pi \arccos x - 2\pi^2$

Перепишем неравенство в виде:
$9 \arccos^2 x - 9\pi \arccos x + 2\pi^2 \le 0$
Пусть $t = \arccos x$. Область значений арккосинуса: $t \in [0, \pi]$.
Получим неравенство: $9t^2 - 9\pi t + 2\pi^2 \le 0$
Найдем корни уравнения $9t^2 - 9\pi t + 2\pi^2 = 0$.
Дискриминант $D = (-9\pi)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (2\pi^2) = 81\pi^2 - 72\pi^2 = 9\pi^2 = (3\pi)^2$.
Корни: $t_1 = \frac{9\pi - 3\pi}{2 \cdot 9} = \frac{6\pi}{18} = \frac{\pi}{3}$
$t_2 = \frac{9\pi + 3\pi}{2 \cdot 9} = \frac{12\pi}{18} = \frac{2\pi}{3}$
Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $\frac{\pi}{3} \le t \le \frac{2\pi}{3}$.
Этот отрезок полностью входит в область значений арккосинуса $[0, \pi]$.
Сделаем обратную замену: $\frac{\pi}{3} \le \arccos x \le \frac{2\pi}{3}$
Функция $y = \cos x$ убывает на отрезке $[0, \pi]$, поэтому при применении ее ко всем частям двойного неравенства знаки неравенства меняются на противоположные:
$\cos(\frac{\pi}{3}) \ge \cos(\arccos x) \ge \cos(\frac{2\pi}{3})$
$\frac{1}{2} \ge x \ge -\frac{1}{2}$
Или, в более привычном виде: $-\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$.

Ответ: $x \in [-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$.

г) $16 \operatorname{arcctg}^2 x + 3\pi^2 > 16\pi \operatorname{arcctg} x$

Перенесем все члены в левую часть:
$16 \operatorname{arcctg}^2 x - 16\pi \operatorname{arcctg} x + 3\pi^2 > 0$
Пусть $t = \operatorname{arcctg} x$. Область значений арккотангенса: $t \in (0, \pi)$.
Получим неравенство: $16t^2 - 16\pi t + 3\pi^2 > 0$
Найдем корни уравнения $16t^2 - 16\pi t + 3\pi^2 = 0$.
Найдем $D/4$ (формула для четного второго коэффициента): $D/4 = (-8\pi)^2 - 16 \cdot (3\pi^2) = 64\pi^2 - 48\pi^2 = 16\pi^2 = (4\pi)^2$.
Корни: $t_1 = \frac{8\pi - 4\pi}{16} = \frac{4\pi}{16} = \frac{\pi}{4}$
$t_2 = \frac{8\pi + 4\pi}{16} = \frac{12\pi}{16} = \frac{3\pi}{4}$
Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями: $t < \frac{\pi}{4}$ или $t > \frac{3\pi}{4}$.
Учтем ограничение $t \in (0, \pi)$. Получаем совокупность: $0 < t < \frac{\pi}{4}$ или $\frac{3\pi}{4} < t < \pi$.
Возвращаемся к $x$: $0 < \operatorname{arcctg} x < \frac{\pi}{4}$ или $\frac{3\pi}{4} < \operatorname{arcctg} x < \pi$.
Функция $y = \operatorname{ctg} x$ убывает на интервале $(0, \pi)$, поэтому знаки неравенств меняются:
Для первого неравенства: $\operatorname{ctg}(0) > x > \operatorname{ctg}(\frac{\pi}{4})$. Поскольку $\operatorname{ctg} y \to +\infty$ при $y \to 0^+$, получаем $x > 1$.
Для второго неравенства: $\operatorname{ctg}(\frac{3\pi}{4}) > x > \operatorname{ctg}(\pi)$. Поскольку $\operatorname{ctg} y \to -\infty$ при $y \to \pi^-$, получаем $-1 > x$, то есть $x < -1$.
Объединяя решения, получаем $x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.