Номер 21.59, страница 135, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

21.59. a) $\arccos x = \operatorname{arctg} x;$

б) $\arccos x = \arcsin x;$

в) $\operatorname{arcctg} x = \operatorname{arctg} x;$

г) $\arcsin x = \operatorname{arcctg} x.$

a) Решим уравнение $ \arccos x = \arctg x $.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Функция $ \arccos x $ определена при $ x \in [-1, 1] $. Функция $ \arctg x $ определена для всех действительных $ x $. Следовательно, ОДЗ для всего уравнения есть $ x \in [-1, 1] $.
Теперь рассмотрим области значений функций. Область значений $ \arccos x $ - это отрезок $ [0, \pi] $. Область значений $ \arctg x $ - это интервал $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $. Для того чтобы равенство выполнялось, значение обеих функций должно находиться в пересечении этих областей, то есть в интервале $ [0, \frac{\pi}{2}) $.
Если $ \arctg x \ge 0 $, то $ x \ge 0 $. Учитывая ОДЗ, получаем, что возможное решение должно лежать в отрезке $ [0, 1] $.
Пусть $ y = \arccos x = \arctg x $. Из этого равенства следует система:
$ \cos y = x $
$ \tg y = x $
Приравнивая выражения для $ x $, получаем $ \cos y = \tg y $. Заменим $ \tg y $ на $ \frac{\sin y}{\cos y} $: $ \cos y = \frac{\sin y}{\cos y} $
$ \cos^2 y = \sin y $
Используя основное тригонометрическое тождество $ \cos^2 y = 1 - \sin^2 y $, получим: $ 1 - \sin^2 y = \sin y $
$ \sin^2 y + \sin y - 1 = 0 $
Это квадратное уравнение относительно $ \sin y $. Сделаем замену $ z = \sin y $: $ z^2 + z - 1 = 0 $
Находим корни по формуле: $ z = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} $.
Так как $ y \in [0, \frac{\pi}{2}) $, то $ \sin y \ge 0 $. Поэтому мы выбираем положительный корень: $ \sin y = \frac{\sqrt{5}-1}{2} $.
Нам нужно найти $ x $. Мы знаем, что $ x = \cos y $. Так как $ y \in [0, \frac{\pi}{2}) $, то $ \cos y > 0 $. $ x = \cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{5 - 2\sqrt{5} + 1}{4}} = \sqrt{1 - \frac{6 - 2\sqrt{5}}{4}} = \sqrt{\frac{4 - 6 + 2\sqrt{5}}{4}} = \sqrt{\frac{2\sqrt{5} - 2}{4}} = \sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}} $.
Полученное значение $ x $ удовлетворяет условию $ x \in [0, 1] $.
Ответ: $ x = \sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}} $.

б) Решим уравнение $ \arccos x = \arcsin x $.
ОДЗ для обеих функций $ \arccos x $ и $ \arcsin x $ - это $ x \in [-1, 1] $.
Воспользуемся известным тригонометрическим тождеством: $ \arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2} $.
Подставим в это тождество $ \arccos x $ из данного уравнения: $ \arcsin x + \arcsin x = \frac{\pi}{2} $
$ 2\arcsin x = \frac{\pi}{2} $
$ \arcsin x = \frac{\pi}{4} $
Отсюда находим $ x $: $ x = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Проверим, что корень входит в ОДЗ: $ -1 \le \frac{\sqrt{2}}{2} \le 1 $. Условие выполняется. Подставив в исходное уравнение, получаем $ \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4} $ и $ \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4} $, что является верным равенством.
Ответ: $ x = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

в) Решим уравнение $ \arcctg x = \arctg x $.
ОДЗ для обеих функций $ \arcctg x $ и $ \arctg x $ - это все действительные числа, $ x \in (-\infty, +\infty) $.
Воспользуемся тождеством: $ \arctg x + \arcctg x = \frac{\pi}{2} $.
Подставим в это тождество $ \arcctg x $ из данного уравнения: $ \arctg x + \arctg x = \frac{\pi}{2} $
$ 2\arctg x = \frac{\pi}{2} $
$ \arctg x = \frac{\pi}{4} $
Отсюда находим $ x $: $ x = \tg\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 $.
Подставив в исходное уравнение, получаем $ \arcctg(1) = \frac{\pi}{4} $ и $ \arctg(1) = \frac{\pi}{4} $, что является верным равенством.
Ответ: $ x = 1 $.

г) Решим уравнение $ \arcsin x = \arcctg x $.
ОДЗ: функция $ \arcsin x $ определена при $ x \in [-1, 1] $, а $ \arcctg x $ - для всех действительных $ x $. ОДЗ уравнения: $ x \in [-1, 1] $.
Область значений $ \arcsin x $ - это $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $. Область значений $ \arcctg x $ - это $ (0, \pi) $. Пересечение этих областей дает интервал $ (0, \frac{\pi}{2}] $.
Из $ \arcsin x > 0 $ следует, что $ x > 0 $. Таким образом, искомое решение должно лежать в полуинтервале $ x \in (0, 1] $.
Пусть $ y = \arcsin x = \arcctg x $. Из этого равенства следует система:
$ \sin y = x $
$ \ctg y = x $
Приравнивая выражения для $ x $, получаем $ \sin y = \ctg y $. Заменим $ \ctg y $ на $ \frac{\cos y}{\sin y} $: $ \sin y = \frac{\cos y}{\sin y} $
$ \sin^2 y = \cos y $
Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 y = 1 - \cos^2 y $, получим: $ 1 - \cos^2 y = \cos y $
$ \cos^2 y + \cos y - 1 = 0 $
Это квадратное уравнение относительно $ \cos y $. Сделаем замену $ z = \cos y $: $ z^2 + z - 1 = 0 $
Находим корни: $ z = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} $.
Так как $ y \in (0, \frac{\pi}{2}] $, то $ \cos y \ge 0 $. Поэтому мы выбираем положительный корень: $ \cos y = \frac{\sqrt{5}-1}{2} $.
Нам нужно найти $ x $. Мы знаем, что $ x = \sin y $. Так как $ y \in (0, \frac{\pi}{2}] $, то $ \sin y > 0 $. $ x = \sin y = \sqrt{1 - \cos^2 y} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{5 - 2\sqrt{5} + 1}{4}} = \sqrt{1 - \frac{6 - 2\sqrt{5}}{4}} = \sqrt{\frac{4 - 6 + 2\sqrt{5}}{4}} = \sqrt{\frac{2\sqrt{5} - 2}{4}} = \sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}} $.
Полученное значение $ x $ удовлетворяет условию $ x \in (0, 1] $.
Ответ: $ x = \sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}} $.