Номер 21.57, страница 134, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

21.57. а) $8 \arcsin^2 x + 2\pi \arcsin x = \pi^2;$

б) $18 \operatorname{arctg}^2 x - 3\pi \operatorname{arctg} x = \pi^2;$

в) $18 \arccos^2 x = 3\pi \arccos x + \pi^2;$

г) $16 \operatorname{arcctg}^2 x + 3\pi^2 = 16\pi \operatorname{arcctg} x.$

а) Данное уравнение $8 \arcsin^2 x + 2\pi \arcsin x = \pi^2$ является квадратным относительно $\arcsin x$.
Перенесем все члены в левую часть: $8 \arcsin^2 x + 2\pi \arcsin x - \pi^2 = 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \arcsin x$. Область значений арксинуса: $-\frac{\pi}{2} \le \arcsin x \le \frac{\pi}{2}$, следовательно, $t \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Получаем квадратное уравнение: $8t^2 + 2\pi t - \pi^2 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = (2\pi)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-\pi^2) = 4\pi^2 + 32\pi^2 = 36\pi^2 = (6\pi)^2$.
Найдем корни уравнения: $t_1 = \frac{-2\pi + 6\pi}{2 \cdot 8} = \frac{4\pi}{16} = \frac{\pi}{4}$.
$t_2 = \frac{-2\pi - 6\pi}{2 \cdot 8} = \frac{-8\pi}{16} = -\frac{\pi}{2}$.
Оба корня принадлежат отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, поэтому оба являются решениями.
Вернемся к исходной переменной:
1) $\arcsin x = \frac{\pi}{4} \implies x = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
2) $\arcsin x = -\frac{\pi}{2} \implies x = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$.
Ответ: $x_1 = \frac{\sqrt{2}}{2}, x_2 = -1$.

б) Данное уравнение $18 \operatorname{arctg}^2 x - 3\pi \operatorname{arctg} x = \pi^2$ является квадратным относительно $\operatorname{arctg} x$.
Перенесем все члены в левую часть: $18 \operatorname{arctg}^2 x - 3\pi \operatorname{arctg} x - \pi^2 = 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \operatorname{arctg} x$. Область значений арктангенса: $-\frac{\pi}{2} < \operatorname{arctg} x < \frac{\pi}{2}$, следовательно, $t \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Получаем квадратное уравнение: $18t^2 - 3\pi t - \pi^2 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = (-3\pi)^2 - 4 \cdot 18 \cdot (-\pi^2) = 9\pi^2 + 72\pi^2 = 81\pi^2 = (9\pi)^2$.
Найдем корни уравнения: $t_1 = \frac{3\pi + 9\pi}{2 \cdot 18} = \frac{12\pi}{36} = \frac{\pi}{3}$.
$t_2 = \frac{3\pi - 9\pi}{2 \cdot 18} = \frac{-6\pi}{36} = -\frac{\pi}{6}$.
Оба корня принадлежат интервалу $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, поэтому оба являются решениями.
Вернемся к исходной переменной:
1) $\operatorname{arctg} x = \frac{\pi}{3} \implies x = \operatorname{tg}(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.
2) $\operatorname{arctg} x = -\frac{\pi}{6} \implies x = \operatorname{tg}(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $x_1 = \sqrt{3}, x_2 = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

в) Данное уравнение $18 \arccos^2 x = 3\pi \arccos x + \pi^2$ является квадратным относительно $\arccos x$.
Перенесем все члены в левую часть: $18 \arccos^2 x - 3\pi \arccos x - \pi^2 = 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \arccos x$. Область значений арккосинуса: $0 \le \arccos x \le \pi$, следовательно, $t \in [0, \pi]$.
Получаем квадратное уравнение: $18t^2 - 3\pi t - \pi^2 = 0$.
Это уравнение мы уже решали в пункте б). Его корни: $t_1 = \frac{\pi}{3}$ и $t_2 = -\frac{\pi}{6}$.
Проверим, принадлежат ли корни отрезку $[0, \pi]$.
$t_1 = \frac{\pi}{3}$ принадлежит отрезку $[0, \pi]$.
$t_2 = -\frac{\pi}{6}$ не принадлежит отрезку $[0, \pi]$, поэтому это посторонний корень.
Вернемся к исходной переменной с единственным подходящим корнем:
$\arccos x = \frac{\pi}{3} \implies x = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.
Ответ: $x = \frac{1}{2}$.

г) Данное уравнение $16 \operatorname{arcctg}^2 x + 3\pi^2 = 16\pi \operatorname{arcctg} x$ является квадратным относительно $\operatorname{arcctg} x$.
Перенесем все члены в левую часть: $16 \operatorname{arcctg}^2 x - 16\pi \operatorname{arcctg} x + 3\pi^2 = 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \operatorname{arcctg} x$. Область значений арккотангенса: $0 < \operatorname{arcctg} x < \pi$, следовательно, $t \in (0, \pi)$.
Получаем квадратное уравнение: $16t^2 - 16\pi t + 3\pi^2 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = (-16\pi)^2 - 4 \cdot 16 \cdot (3\pi^2) = 256\pi^2 - 192\pi^2 = 64\pi^2 = (8\pi)^2$.
Найдем корни уравнения: $t_1 = \frac{16\pi + 8\pi}{2 \cdot 16} = \frac{24\pi}{32} = \frac{3\pi}{4}$.
$t_2 = \frac{16\pi - 8\pi}{2 \cdot 16} = \frac{8\pi}{32} = \frac{\pi}{4}$.
Оба корня принадлежат интервалу $(0, \pi)$, поэтому оба являются решениями.
Вернемся к исходной переменной:
1) $\operatorname{arcctg} x = \frac{3\pi}{4} \implies x = \operatorname{ctg}(\frac{3\pi}{4}) = -1$.
2) $\operatorname{arcctg} x = \frac{\pi}{4} \implies x = \operatorname{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1$.
Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 1$.