Номер 21.51, страница 134, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Постройте график функции:

21.51. а) $y = \arccos x + \arccos (-x);$

б) $y = \arccos \frac{1}{x} + \arccos \left(-\frac{1}{x}\right);$

в) $y = \operatorname{arcctg} x + \operatorname{arcctg}(-x);$

г) $y = \operatorname{arcctg} \sqrt{x} + \operatorname{arcctg}(-\sqrt{x}).$

а) $y = \arccos x + \arccos(-x)$

1. Найдём область определения функции.

Область определения функции арккосинус $D(\arccos t)$ — это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, для данной функции должны одновременно выполняться два условия: $x \in [-1, 1]$ и $-x \in [-1, 1]$. Второе условие $-1 \le -x \le 1$ равносильно $1 \ge x \ge -1$, то есть $x \in [-1, 1]$. Таким образом, область определения исходной функции $D(y) = [-1, 1]$.

2. Упростим выражение.

Воспользуемся известным тождеством для обратных тригонометрических функций: $\arccos(-t) = \pi - \arccos(t)$. Применим это тождество к нашей функции:

$y = \arccos x + (\pi - \arccos x) = \pi$

3. Построим график.

Мы получили, что для всех $x$ из области определения $D(y) = [-1, 1]$, значение функции постоянно и равно $\pi$. Следовательно, графиком функции является отрезок прямой $y=\pi$, концы которого находятся в точках с абсциссами $x=-1$ и $x=1$. Точки $(-1, \pi)$ и $(1, \pi)$ принадлежат графику.

Ответ: График функции — это отрезок прямой $y=\pi$, заключенный между точками $(-1, \pi)$ и $(1, \pi)$, включая концы.

б) $y = \arccos\left(\frac{1}{x}\right) + \arccos\left(-\frac{1}{x}\right)$

1. Найдём область определения функции.

Аргумент функции арккосинус должен принадлежать отрезку $[-1, 1]$. Следовательно, должно выполняться условие $-1 \le \frac{1}{x} \le 1$. Это неравенство эквивалентно $|\frac{1}{x}| \le 1$, что, в свою очередь, равносильно $|x| \ge 1$ (при $x \ne 0$). Таким образом, область определения функции $D(y) = (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

2. Упростим выражение.

Как и в предыдущем пункте, используем тождество $\arccos(-t) = \pi - \arccos(t)$. Пусть $t = \frac{1}{x}$. Тогда:

$y = \arccos\left(\frac{1}{x}\right) + \left(\pi - \arccos\left(\frac{1}{x}\right)\right) = \pi$

3. Построим график.

Функция принимает постоянное значение $y=\pi$ на всей своей области определения. Графиком функции являются два луча прямой $y=\pi$. Первый луч начинается в точке $(1, \pi)$ и идет вправо. Второй луч начинается в точке $(-1, \pi)$ и идет влево. Точки $(1, \pi)$ и $(-1, \pi)$ принадлежат графику.

Ответ: График функции состоит из двух лучей: один луч выходит из точки $(1, \pi)$ и идет вправо вдоль прямой $y=\pi$; второй луч выходит из точки $(-1, \pi)$ и идет влево вдоль прямой $y=\pi$. Точки $(1, \pi)$ и $(-1, \pi)$ принадлежат графику.

в) $y = \operatorname{arcctg} x + \operatorname{arcctg}(-x)$

1. Найдём область определения функции.

Область определения функции арккотангенс $D(\operatorname{arcctg} t)$ — это все действительные числа, $(-\infty, \infty)$. Следовательно, область определения данной функции $D(y) = (-\infty, \infty)$.

2. Упростим выражение.

Воспользуемся тождеством для арккотангенса: $\operatorname{arcctg}(-t) = \pi - \operatorname{arcctg}(t)$. (Данное тождество справедливо для стандартного определения арккотангенса с областью значений $(0, \pi)$).

$y = \operatorname{arcctg} x + (\pi - \operatorname{arcctg} x) = \pi$

3. Построим график.

Функция постоянна на всей числовой прямой и равна $\pi$. Графиком является горизонтальная прямая $y=\pi$.

Ответ: График функции — это прямая $y=\pi$.

г) $y = \operatorname{arcctg}\sqrt{x} + \operatorname{arcctg}(-\sqrt{x})$

1. Найдём область определения функции.

Для существования функции необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным: $x \ge 0$. Область определения арккотангенса — все действительные числа, поэтому для $\sqrt{x}$ и $-\sqrt{x}$ арккотангенс всегда определён. Таким образом, область определения функции $D(y) = [0, \infty)$.

2. Упростим выражение.

Сделаем замену $t = \sqrt{x}$. Функция примет вид $y = \operatorname{arcctg}(t) + \operatorname{arcctg}(-t)$. Используя тождество из предыдущего пункта, $\operatorname{arcctg}(-t) = \pi - \operatorname{arcctg}(t)$, получаем:

$y = \operatorname{arcctg}(\sqrt{x}) + (\pi - \operatorname{arcctg}(\sqrt{x})) = \pi$

3. Построим график.

На всей своей области определения $[0, \infty)$ функция принимает постоянное значение $y=\pi$. Графиком функции является луч, выходящий из точки $(0, \pi)$ и направленный вправо вдоль прямой $y=\pi$. Точка $(0, \pi)$ принадлежит графику.

Ответ: График функции — это луч, выходящий из точки $(0, \pi)$ и идущий вправо вдоль прямой $y=\pi$. Точка $(0, \pi)$ принадлежит графику.