Номер 21.45, страница 133, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

21.45. a) $y = |\operatorname{arctg} x|$;

б) $y = \operatorname{arcctg} |x|$;

В) $y = -2 \operatorname{arcctg} |x|$;

Г) $y = |\operatorname{arctg} x + \frac{\pi}{6}|$.

а) $y = |\operatorname{arctg} x|$

Для построения графика этой функции сначала рассмотрим график базовой функции $y_1 = \operatorname{arctg} x$. Это стандартная функция арктангенса, определенная для всех действительных чисел, с областью значений $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. График является нечетной функцией, симметричной относительно начала координат, и возрастает на всей области определения. Он имеет две горизонтальные асимптоты: $y = \frac{\pi}{2}$ при $x \to +\infty$ и $y = -\frac{\pi}{2}$ при $x \to -\infty$.

Затем к графику функции $y_1 = \operatorname{arctg} x$ применяется операция взятия модуля: $y = |y_1| = |\operatorname{arctg} x|$. Это преобразование означает, что та часть графика, которая лежит ниже оси абсцисс (Ох), отражается симметрично относительно этой оси, а та часть, что лежит выше или на оси, остается без изменений. Поскольку $\operatorname{arctg} x \ge 0$ при $x \ge 0$ и $\operatorname{arctg} x < 0$ при $x < 0$, то:

• При $x \ge 0$, график $y = |\operatorname{arctg} x|$ совпадает с графиком $y = \operatorname{arctg} x$.
• При $x < 0$, график $y = |\operatorname{arctg} x|$ получается отражением графика $y = \operatorname{arctg} x$ относительно оси Ох.

Основные свойства итоговой функции $y = |\operatorname{arctg} x|$:

• Область определения: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [0, \frac{\pi}{2})$.
• Четность: Функция является четной, так как $y(-x) = |\operatorname{arctg}(-x)| = |-\operatorname{arctg} x| = |\operatorname{arctg} x| = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси ординат (Оу).
• Монотонность: Функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.
• Экстремумы: В точке $x=0$ функция достигает своего минимума: $y_{min} = y(0) = 0$.
• Асимптоты: Имеется одна горизонтальная асимптота $y = \frac{\pi}{2}$ при $x \to \pm\infty$.

Ответ: График функции $y = |\operatorname{arctg} x|$ получается из графика $y = \operatorname{arctg} x$ путем отражения его части, лежащей в нижней полуплоскости, в верхнюю полуплоскость относительно оси Ox. Функция четная, область значений $E(y) = [0, \frac{\pi}{2})$, горизонтальная асимптота $y = \frac{\pi}{2}$.

б) $y = \operatorname{arcctg}|x|$

Для построения графика этой функции начнем с графика базовой функции $y_1 = \operatorname{arcctg} x$. Это функция арккотангенса, определенная для всех действительных чисел, с областью значений $(0, \pi)$. Функция является убывающей на всей области определения. Она имеет две горизонтальные асимптоты: $y = 0$ при $x \to +\infty$ и $y = \pi$ при $x \to -\infty$.

Далее выполняется преобразование $y = f(|x|)$, где $f(x) = \operatorname{arcctg} x$. Это означает, что часть графика $y_1 = \operatorname{arcctg} x$ для $x \ge 0$ остается без изменений, а часть графика для $x < 0$ удаляется и заменяется на симметричное отражение части для $x \ge 0$ относительно оси ординат (Оу). В результате получается четная функция.

• При $x \ge 0$, график $y = \operatorname{arcctg}|x|$ совпадает с графиком $y = \operatorname{arcctg} x$.
• При $x < 0$, график $y = \operatorname{arcctg}|x|$ является зеркальным отражением части графика $y = \operatorname{arcctg} x$ для $x > 0$ относительно оси Оу.

Основные свойства итоговой функции $y = \operatorname{arcctg}|x|$:

• Область определения: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
• Область значений: Поскольку при $x \ge 0$ значения $\operatorname{arcctg} x$ лежат в $(0, \frac{\pi}{2}]$, то для четной функции $y = \operatorname{arcctg}|x|$ область значений будет такой же: $E(y) = (0, \frac{\pi}{2}]$.
• Четность: Функция является четной, так как $y(-x) = \operatorname{arcctg}|-x| = \operatorname{arcctg}|x| = y(x)$. График симметричен относительно оси Оу.
• Монотонность: Функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$ и убывает на промежутке $[0, +\infty)$.
• Экстремумы: В точке $x=0$ функция достигает своего максимума: $y_{max} = y(0) = \operatorname{arcctg}(0) = \frac{\pi}{2}$.
• Асимптоты: Имеется одна горизонтальная асимптота $y = 0$ при $x \to \pm\infty$.

Ответ: График функции $y = \operatorname{arcctg}|x|$ получается из графика $y = \operatorname{arcctg} x$ путем сохранения его части при $x \ge 0$ и симметричного отражения этой части относительно оси Oy. Функция четная, область значений $E(y) = (0, \frac{\pi}{2}]$, горизонтальная асимптота $y = 0$.

в) $y = -2 \operatorname{arcctg}|x|$

Для построения графика этой функции мы будем преобразовывать график функции $y_2 = \operatorname{arcctg}|x|$, который мы проанализировали в пункте б). Преобразование состоит из двух шагов:

1. Растяжение графика $y_2 = \operatorname{arcctg}|x|$ вдоль оси Оу в 2 раза. Это дает нам промежуточную функцию $y_3 = 2 \operatorname{arcctg}|x|$. Область значений $y_3$ будет $(0, \pi]$.
2. Отражение графика $y_3 = 2 \operatorname{arcctg}|x|$ симметрично относительно оси абсцисс (Ох). Это дает итоговый график $y = -2 \operatorname{arcctg}|x|$.

Основные свойства итоговой функции $y = -2 \operatorname{arcctg}|x|$:

• Область определения: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
• Область значений: Исходная область значений для $\operatorname{arcctg}|x|$ была $(0, \frac{\pi}{2}]$. После умножения на $-2$ она становится $[-\pi, 0)$. Итак, $E(y) = [-\pi, 0)$.
• Четность: Функция является четной, так как она получена из четной функции $\operatorname{arcctg}|x|$ умножением на константу. График симметричен относительно оси Оу.
• Монотонность: Функция $y_2 = \operatorname{arcctg}|x|$ возрастала на $(-\infty, 0]$ и убывала на $[0, +\infty)$. Умножение на отрицательное число $-2$ меняет характер монотонности на противоположный. Следовательно, функция $y = -2 \operatorname{arcctg}|x|$ убывает на $(-\infty, 0]$ и возрастает на $[0, +\infty)$.
• Экстремумы: Максимум функции $y_2$ в точке $x=0$ превращается в минимум для функции $y$. $y_{min} = y(0) = -2 \operatorname{arcctg}(0) = -2 \cdot \frac{\pi}{2} = -\pi$.
• Асимптоты: Горизонтальная асимптота $y=0$ для функции $y_2$ остается асимптотой и для $y$, так как $-2 \cdot 0 = 0$.

Ответ: График функции $y = -2 \operatorname{arcctg}|x|$ получается из графика $y = \operatorname{arcctg}|x|$ растяжением в 2 раза вдоль оси Oy с последующим отражением относительно оси Ox. Функция четная, область значений $E(y) = [-\pi, 0)$, точка минимума $(0, -\pi)$, горизонтальная асимптота $y = 0$.

г) $y = |\operatorname{arctg} x + \frac{\pi}{6}|$

Построение графика этой функции выполним в несколько шагов, начиная с $y_1 = \operatorname{arctg} x$.

1. Строим график $y_1 = \operatorname{arctg} x$.
2. Сдвигаем график $y_1$ вверх на $\frac{\pi}{6}$ вдоль оси Оу, чтобы получить график функции $y_2 = \operatorname{arctg} x + \frac{\pi}{6}$. Асимптоты смещаются на $\frac{\pi}{6}$ вверх и становятся $y = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$ и $y = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{3}$. График пересекает ось Ох в точке, где $\operatorname{arctg} x = -\frac{\pi}{6}$, то есть $x = \operatorname{tg}(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
3. Применяем операцию взятия модуля к функции $y_2$: $y = |y_2| = |\operatorname{arctg} x + \frac{\pi}{6}|$. Часть графика $y_2$, лежащая ниже оси Ох (при $x < -\frac{1}{\sqrt{3}}$), отражается симметрично относительно оси Ох. Часть графика, лежащая выше или на оси (при $x \ge -\frac{1}{\sqrt{3}}$), остается без изменений.

Основные свойства итоговой функции $y = |\operatorname{arctg} x + \frac{\pi}{6}|$:

• Область определения: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
• Область значений: Область значений $y_2$ была $(-\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3})$. После взятия модуля область значений становится $[0, \frac{2\pi}{3})$.
• Четность: Функция не является ни четной, ни нечетной.
• Монотонность: Функция убывает на промежутке $(-\infty, -\frac{1}{\sqrt{3}}]$ и возрастает на промежутке $[-\frac{1}{\sqrt{3}}, +\infty)$.
• Экстремумы: В точке $x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ функция достигает своего минимума: $y_{min} = 0$.
• Асимптоты: Функция имеет две горизонтальные асимптоты:
  • $y = \lim_{x \to +\infty} |\operatorname{arctg} x + \frac{\pi}{6}| = |\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}| = \frac{2\pi}{3}$.
  • $y = \lim_{x \to -\infty} |\operatorname{arctg} x + \frac{\pi}{6}| = |-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}| = |-\frac{\pi}{3}| = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: График функции получается из графика $y = \operatorname{arctg} x$ путем сдвига вверх на $\frac{\pi}{6}$ и последующего отражения отрицательной части графика относительно оси Ox. Функция имеет область значений $[0, \frac{2\pi}{3})$, точку минимума $(-\frac{1}{\sqrt{3}}, 0)$ и две горизонтальные асимптоты: $y = \frac{2\pi}{3}$ (при $x \to +\infty$) и $y = \frac{\pi}{3}$ (при $x \to -\infty$).