Номер 21.47, страница 133, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

21.47. a) $ \sin \left( \arccos \frac{3}{5} \right); $

б) $ \operatorname{tg} \left( \arccos \left( -\frac{5}{13} \right) \right); $

в) $ \sin \left( \arccos \left( -0.8 \right) \right); $

г) $ \operatorname{ctg} \left( \arccos \frac{4}{5} \right). $

а) $\sin\left(\arccos\frac{3}{5}\right)$

Пусть $\alpha = \arccos\frac{3}{5}$. По определению арккосинуса, это означает, что $\cos\alpha = \frac{3}{5}$ и угол $\alpha$ находится в промежутке $0 \le \alpha \le \pi$.

Нам нужно найти $\sin\alpha$. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

Отсюда $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$. Подставим значение косинуса:

$\sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25-9}{25} = \frac{16}{25}$.

Тогда $\sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} = \pm\frac{4}{5}$.

Поскольку $0 \le \alpha \le \pi$, значение синуса для такого угла неотрицательно, то есть $\sin\alpha \ge 0$. Следовательно, мы выбираем положительное значение.

$\sin\alpha = \frac{4}{5}$.

Ответ: $\frac{4}{5}$.

б) $\text{tg}\left(\arccos\left(-\frac{5}{13}\right)\right)$

Пусть $\alpha = \arccos\left(-\frac{5}{13}\right)$. По определению, $\cos\alpha = -\frac{5}{13}$ и $0 \le \alpha \le \pi$.

Нам нужно найти $\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.

Сначала найдем $\sin\alpha$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(-\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169-25}{169} = \frac{144}{169}$.

$\sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13}$.

Так как $0 \le \alpha \le \pi$, то $\sin\alpha \ge 0$. Значит, $\sin\alpha = \frac{12}{13}$.

Теперь можем вычислить тангенс:

$\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{12/13}{-5/13} = -\frac{12}{5}$.

Ответ: $-\frac{12}{5}$.

в) $\sin\left(\arccos(-0,8)\right)$

Пусть $\alpha = \arccos(-0,8)$. Тогда $\cos\alpha = -0,8$ и $0 \le \alpha \le \pi$.

Нам нужно найти $\sin\alpha$. Используем тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - (-0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36$.

$\sin\alpha = \pm\sqrt{0,36} = \pm 0,6$.

Поскольку $0 \le \alpha \le \pi$, значение $\sin\alpha$ должно быть неотрицательным. Таким образом, $\sin\alpha = 0,6$.

Ответ: $0,6$.

г) $\text{ctg}\left(\arccos\frac{4}{5}\right)$

Пусть $\alpha = \arccos\frac{4}{5}$. По определению, $\cos\alpha = \frac{4}{5}$ и $0 \le \alpha \le \pi$.

Нам нужно найти $\text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.

Сначала найдем $\sin\alpha$ из тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$.

$\sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{9}{25}} = \pm\frac{3}{5}$.

Так как $0 \le \alpha \le \pi$, то $\sin\alpha \ge 0$. Значит, $\sin\alpha = \frac{3}{5}$.

Теперь вычислим котангенс:

$\text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$.