Номер 21.40, страница 132, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Постройте график функции:

21.40. а) $y = \operatorname{arctg}(-x);$

б) $y = \operatorname{arcctg}(-x);$

в) $y = -\operatorname{arcctg}x;$

г) $y = -\operatorname{arctg}(-x).$

Для построения графика функции $y = \text{arctg}(-x)$ воспользуемся свойством нечетности функции арктангенс: $\text{arctg}(-x) = -\text{arctg}(x)$. Таким образом, задача сводится к построению графика функции $y = -\text{arctg}(x)$.

График функции $y = -\text{arctg}(x)$ можно получить из графика основной функции $y = \text{arctg}(x)$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс (оси Ох). Также этот график можно получить, отразив $y = \text{arctg}(x)$ относительно оси ординат (Оу), так как преобразование $f(x) \to f(-x)$ соответствует именно отражению относительно оси Оу.

Основные свойства функции $y = \text{arctg}(-x)$:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
• Функция является убывающей на всей области определения.
• График проходит через точку $(0; 0)$.
• Горизонтальные асимптоты: $y = \frac{\pi}{2}$ при $x \to -\infty$ и $y = -\frac{\pi}{2}$ при $x \to +\infty$.

Ответ: График функции $y = \text{arctg}(-x)$ является отражением графика $y = \text{arctg}(x)$ относительно оси ординат (или, что то же самое, относительно оси абсцисс). Это убывающая кривая, проходящая через начало координат и ограниченная горизонтальными асимптотами $y = \frac{\pi}{2}$ и $y = -\frac{\pi}{2}$.

Для построения графика функции $y = \text{arcctg}(-x)$ можно применить преобразование симметрии. График функции $y = f(-x)$ получается из графика $y = f(x)$ отражением относительно оси ординат (Оу). Следовательно, для построения искомого графика нужно отразить график функции $y = \text{arcctg}(x)$ относительно оси Оу.

Также можно воспользоваться тождеством: $\text{arcctg}(-x) = \pi - \text{arcctg}(x)$. Тогда построение выполняется в два этапа: сначала график $y = \text{arcctg}(x)$ отражается симметрично относительно оси абсцисс (получаем $y_1 = -\text{arcctg}(x)$), а затем сдвигается вверх на $\pi$ единиц. Оба способа приводят к одинаковому результату.

Основные свойства функции $y = \text{arcctg}(-x)$:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (0; \pi)$.
• Функция является возрастающей на всей области определения.
• График пересекает ось ординат в точке $(0; \frac{\pi}{2})$.
• Горизонтальные асимптоты: $y = 0$ при $x \to -\infty$ и $y = \pi$ при $x \to +\infty$.

Ответ: График функции $y = \text{arcctg}(-x)$ является отражением графика $y = \text{arcctg}(x)$ относительно оси ординат. Это возрастающая кривая, проходящая через точку $(0; \frac{\pi}{2})$ и ограниченная горизонтальными асимптотами $y = 0$ и $y = \pi$.

Для построения графика функции $y = -\text{arcctg}(x)$ необходимо выполнить преобразование графика основной функции $y = \text{arcctg}(x)$. Преобразование вида $y = -f(x)$ соответствует симметричному отражению графика функции $y = f(x)$ относительно оси абсцисс (Ох).

Исходный график $y = \text{arcctg}(x)$ является убывающей функцией, определенной на всей числовой оси, с областью значений $(0; \pi)$. Он пересекает ось Оу в точке $(0; \frac{\pi}{2})$ и имеет горизонтальные асимптоты $y = \pi$ (при $x \to -\infty$) и $y=0$ (при $x \to +\infty$).

После отражения относительно оси Ох получим график функции $y = -\text{arcctg}(x)$ со следующими свойствами:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\pi; 0)$.
• Функция является возрастающей на всей области определения.
• График пересекает ось ординат в точке $(0; -\frac{\pi}{2})$.
• Горизонтальные асимптоты: $y = -\pi$ при $x \to -\infty$ и $y = 0$ при $x \to +\infty$.

Ответ: График функции $y = -\text{arcctg}(x)$ является отражением графика $y = \text{arcctg}(x)$ относительно оси абсцисс. Это возрастающая кривая, проходящая через точку $(0; -\frac{\pi}{2})$ и ограниченная горизонтальными асимптотами $y = -\pi$ и $y = 0$.

Рассмотрим функцию $y = -\text{arctg}(-x)$. Для ее анализа воспользуемся свойством нечетности функции арктангенс: $\text{arctg}(-x) = -\text{arctg}(x)$.

Подставим это свойство в исходное уравнение:

$y = -(-\text{arctg}(x)) = \text{arctg}(x)$.

Таким образом, график заданной функции полностью совпадает с графиком основной функции $y = \text{arctg}(x)$.

Основные свойства функции $y = \text{arctg}(x)$:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
• Функция является возрастающей на всей области определения.
• График проходит через начало координат $(0; 0)$.
• Горизонтальные асимптоты: $y = \frac{\pi}{2}$ при $x \to +\infty$ и $y = -\frac{\pi}{2}$ при $x \to -\infty$.

Ответ: График функции $y = -\text{arctg}(-x)$ совпадает с графиком функции $y = \text{arctg}(x)$. Это возрастающая кривая, проходящая через начало координат и ограниченная горизонтальными асимптотами $y = \frac{\pi}{2}$ и $y = -\frac{\pi}{2}$.