Номер 21.41, страница 132, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Звавич Леонид Исаакович, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Рязановский А Р, издательство Мнемозина, Москва, 2019, часть 1, 2 Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Звавич Леонид Исаакович, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Рязановский А Р, издательство Мнемозина, Москва, 2019, часть 1, 2

Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Звавич Л. И., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Рязановский А. Р.

Тип: Учебник

Издательство: Мнемозина

Год издания: 2019 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Часть: 2

Цвет обложки:

ISBN: 978-5-346-04648-6 (общ.), 978-5-346-04649-3 (ч. 1), 978-5-346-04650-9 (ч. 2),

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Популярные ГДЗ в 10 классе

§ 21. Обратные тригонометрические функции. Глава 3. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 21.41, страница 132.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№21.41 (с. 132)
Условие. №21.41 (с. 132)
скриншот условия
Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Звавич Леонид Исаакович, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Рязановский А Р, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 132, номер 21.41, Условие

21.41. a) y=arctan(x1)π2y = \arctan(x - 1) - \frac{\pi}{2};

б) y=arcctg(x+2)+π3y = \operatorname{arcctg}(x + 2) + \frac{\pi}{3}.

Решение 1. №21.41 (с. 132)
Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Звавич Леонид Исаакович, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Рязановский А Р, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 132, номер 21.41, Решение 1 Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Звавич Леонид Исаакович, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Рязановский А Р, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 132, номер 21.41, Решение 1 (продолжение 2)
Решение 2. №21.41 (с. 132)
Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Звавич Леонид Исаакович, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Рязановский А Р, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 132, номер 21.41, Решение 2 Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мордкович Александр Григорьевич, Семенов Павел Владимирович, Денищева Лариса Олеговна, Звавич Леонид Исаакович, Корешкова Т А, Мишустина Татьяна Николаевна, Рязановский А Р, издательство Мнемозина, Москва, 2019, Часть 2, страница 132, номер 21.41, Решение 2 (продолжение 2)
Решение 3. №21.41 (с. 132)

а) y=arctg(x1)π2y = \operatorname{arctg}(x - 1) - \frac{\pi}{2}

Для подробного анализа (исследования) данной функции рассмотрим её основные свойства: область определения, область значений, монотонность, точки пересечения с осями координат и асимптоты. Данная функция является результатом преобразований базовой функции f(t)=arctg(t)f(t) = \operatorname{arctg}(t).

1. Область определения (D(y))
Функция арктангенс, f(t)=arctg(t)f(t) = \operatorname{arctg}(t), определена для всех действительных чисел, то есть ее область определения D(f)=(;+)D(f) = (-\infty; +\infty).
В нашем случае аргументом функции является выражение x1x - 1. Так как арктангенс определен для любого значения своего аргумента, то x1x-1 может быть любым действительным числом, а значит, и xx может быть любым действительным числом.
Следовательно, область определения функции: D(y)=(;+)D(y) = (-\infty; +\infty).

2. Область значений (E(y))
Область значений базовой функции f(t)=arctg(t)f(t) = \operatorname{arctg}(t) — это интервал (π2;π2)(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}).
Это означает, что для любой допустимой переменной xx выполняется неравенство:
π2<arctg(x1)<π2-\frac{\pi}{2} < \operatorname{arctg}(x - 1) < \frac{\pi}{2}.
Наша функция yy получается из arctg(x1)\operatorname{arctg}(x - 1) путем вычитания константы π2\frac{\pi}{2}, что соответствует сдвигу графика вниз по оси Oy. Чтобы найти новую область значений, вычтем π2\frac{\pi}{2} из всех частей неравенства:
π2π2<arctg(x1)π2<π2π2-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} < \operatorname{arctg}(x - 1) - \frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}
π<y<0-\pi < y < 0.
Следовательно, область значений функции: E(y)=(π;0)E(y) = (-\pi; 0).

3. Монотонность
Функция arctg(t)\operatorname{arctg}(t) является строго возрастающей на всей своей области определения. Поскольку x1x-1 является возрастающей функцией от xx, их композиция arctg(x1)\operatorname{arctg}(x-1) также строго возрастает. Вертикальный сдвиг не влияет на характер монотонности. Таким образом, функция y=arctg(x1)π2y = \operatorname{arctg}(x - 1) - \frac{\pi}{2} строго возрастает на всей области определения (;+)(-\infty; +\infty).

4. Точки пересечения с осями координат
Пересечение с осью Oy (при x=0x=0):
y(0)=arctg(01)π2=arctg(1)π2=π4π2=3π4y(0) = \operatorname{arctg}(0 - 1) - \frac{\pi}{2} = \operatorname{arctg}(-1) - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} = -\frac{3\pi}{4}.
Точка пересечения с осью Oy: (0,3π4)(0, -\frac{3\pi}{4}).
Пересечение с осью Ox (при y=0y=0):
0=arctg(x1)π2    arctg(x1)=π20 = \operatorname{arctg}(x - 1) - \frac{\pi}{2} \implies \operatorname{arctg}(x-1) = \frac{\pi}{2}.
Это уравнение не имеет решений, так как значение π2\frac{\pi}{2} не входит в область значений функции арктангенс. Следовательно, график функции не пересекает ось Ox.

5. Асимптоты
График функции arctg(t)\operatorname{arctg}(t) имеет две горизонтальные асимптоты: y=π2y = \frac{\pi}{2} при t+t \to +\infty и y=π2y = -\frac{\pi}{2} при tt \to -\infty.
Для нашей функции:
При x+x \to +\infty, (x1)+(x-1) \to +\infty, следовательно arctg(x1)π2\operatorname{arctg}(x-1) \to \frac{\pi}{2}. Тогда yπ2π2=0y \to \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = 0. Горизонтальная асимптота y=0y=0.
При xx \to -\infty, (x1)(x-1) \to -\infty, следовательно arctg(x1)π2\operatorname{arctg}(x-1) \to -\frac{\pi}{2}. Тогда yπ2π2=πy \to -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = -\pi. Горизонтальная асимптота y=πy=-\pi.

Ответ: Для функции y=arctg(x1)π2y = \operatorname{arctg}(x - 1) - \frac{\pi}{2}:
- Область определения: D(y)=(;+)D(y) = (-\infty; +\infty).
- Область значений: E(y)=(π;0)E(y) = (-\pi; 0).
- Функция строго возрастает на (;+)(-\infty; +\infty).
- Горизонтальные асимптоты: y=0y=0 (при x+x \to +\infty) и y=πy=-\pi (при xx \to -\infty).
- Точка пересечения с осью Oy: (0,3π4)(0, -\frac{3\pi}{4}). Пересечений с осью Ox нет.

б) y=arcctg(x+2)+π3y = \operatorname{arcctg}(x + 2) + \frac{\pi}{3}

Проведем исследование данной функции, которая является преобразованием базовой функции арккотангенса f(t)=arcctg(t)f(t) = \operatorname{arcctg}(t).

1. Область определения (D(y))
Функция арккотангенс, f(t)=arcctg(t)f(t) = \operatorname{arcctg}(t), определена для всех действительных чисел, то есть D(f)=(;+)D(f) = (-\infty; +\infty).
Аргументом функции является x+2x + 2. Так как x+2x+2 может принимать любые действительные значения, то и xx может быть любым действительным числом.
Следовательно, область определения функции: D(y)=(;+)D(y) = (-\infty; +\infty).

2. Область значений (E(y))
Область значений базовой функции f(t)=arcctg(t)f(t) = \operatorname{arcctg}(t) — это интервал (0;π)(0; \pi).
Это означает, что:
0<arcctg(x+2)<π0 < \operatorname{arcctg}(x + 2) < \pi.
Наша функция yy получается из arcctg(x+2)\operatorname{arcctg}(x + 2) путем прибавления константы π3\frac{\pi}{3}, что соответствует сдвигу графика вверх по оси Oy. Чтобы найти новую область значений, прибавим π3\frac{\pi}{3} ко всем частям неравенства:
0+π3<arcctg(x+2)+π3<π+π30 + \frac{\pi}{3} < \operatorname{arcctg}(x + 2) + \frac{\pi}{3} < \pi + \frac{\pi}{3}
π3<y<4π3\frac{\pi}{3} < y < \frac{4\pi}{3}.
Следовательно, область значений функции: E(y)=(π3;4π3)E(y) = (\frac{\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}).

3. Монотонность
Функция arcctg(t)\operatorname{arcctg}(t) является строго убывающей на всей своей области определения. Так как x+2x+2 — возрастающая функция от xx, их композиция arcctg(x+2)\operatorname{arcctg}(x+2) является строго убывающей. Вертикальный сдвиг не влияет на характер монотонности. Таким образом, функция y=arcctg(x+2)+π3y = \operatorname{arcctg}(x + 2) + \frac{\pi}{3} строго убывает на всей области определения (;+)(-\infty; +\infty).

4. Точки пересечения с осями координат
Пересечение с осью Oy (при x=0x=0):
y(0)=arcctg(0+2)+π3=arcctg(2)+π3y(0) = \operatorname{arcctg}(0 + 2) + \frac{\pi}{3} = \operatorname{arcctg}(2) + \frac{\pi}{3}.
Точка пересечения с осью Oy: (0,arcctg(2)+π3)(0, \operatorname{arcctg}(2) + \frac{\pi}{3}).
Пересечение с осью Ox (при y=0y=0):
0=arcctg(x+2)+π3    arcctg(x+2)=π30 = \operatorname{arcctg}(x + 2) + \frac{\pi}{3} \implies \operatorname{arcctg}(x+2) = -\frac{\pi}{3}.
Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции арккотангенс (0;π)(0; \pi) не содержит отрицательных чисел. Следовательно, график функции не пересекает ось Ox.

5. Асимптоты
График функции arcctg(t)\operatorname{arcctg}(t) имеет две горизонтальные асимптоты: y=0y = 0 при t+t \to +\infty и y=πy = \pi при tt \to -\infty.
Для нашей функции:
При x+x \to +\infty, (x+2)+(x+2) \to +\infty, следовательно arcctg(x+2)0\operatorname{arcctg}(x+2) \to 0. Тогда y0+π3=π3y \to 0 + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3}. Горизонтальная асимптота y=π3y=\frac{\pi}{3}.
При xx \to -\infty, (x+2)(x+2) \to -\infty, следовательно arcctg(x+2)π\operatorname{arcctg}(x+2) \to \pi. Тогда yπ+π3=4π3y \to \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}. Горизонтальная асимптота y=4π3y=\frac{4\pi}{3}.

Ответ: Для функции y=arcctg(x+2)+π3y = \operatorname{arcctg}(x + 2) + \frac{\pi}{3}:
- Область определения: D(y)=(;+)D(y) = (-\infty; +\infty).
- Область значений: E(y)=(π3;4π3)E(y) = (\frac{\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}).
- Функция строго убывает на (;+)(-\infty; +\infty).
- Горизонтальные асимптоты: y=π3y=\frac{\pi}{3} (при x+x \to +\infty) и y=4π3y=\frac{4\pi}{3} (при xx \to -\infty).
- Точка пересечения с осью Oy: (0,arcctg(2)+π3)(0, \operatorname{arcctg}(2) + \frac{\pi}{3}). Пересечений с осью Ox нет.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 21.41 расположенного на странице 132 для 2-й части к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №21.41 (с. 132), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Звавич (Леонид Исаакович), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Рязановский (А Р), 2-й части ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться