Номер 21.41, страница 132, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

21.41. a) $y = \arctan(x - 1) - \frac{\pi}{2}$;

б) $y = \operatorname{arcctg}(x + 2) + \frac{\pi}{3}$.

а) $y = \operatorname{arctg}(x - 1) - \frac{\pi}{2}$

Для подробного анализа (исследования) данной функции рассмотрим её основные свойства: область определения, область значений, монотонность, точки пересечения с осями координат и асимптоты. Данная функция является результатом преобразований базовой функции $f(t) = \operatorname{arctg}(t)$.

1. Область определения (D(y))
Функция арктангенс, $f(t) = \operatorname{arctg}(t)$, определена для всех действительных чисел, то есть ее область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
В нашем случае аргументом функции является выражение $x - 1$. Так как арктангенс определен для любого значения своего аргумента, то $x-1$ может быть любым действительным числом, а значит, и $x$ может быть любым действительным числом.
Следовательно, область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений (E(y))
Область значений базовой функции $f(t) = \operatorname{arctg}(t)$ — это интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
Это означает, что для любой допустимой переменной $x$ выполняется неравенство:
$-\frac{\pi}{2} < \operatorname{arctg}(x - 1) < \frac{\pi}{2}$.
Наша функция $y$ получается из $\operatorname{arctg}(x - 1)$ путем вычитания константы $\frac{\pi}{2}$, что соответствует сдвигу графика вниз по оси Oy. Чтобы найти новую область значений, вычтем $\frac{\pi}{2}$ из всех частей неравенства:
$-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} < \operatorname{arctg}(x - 1) - \frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}$
$-\pi < y < 0$.
Следовательно, область значений функции: $E(y) = (-\pi; 0)$.

3. Монотонность
Функция $\operatorname{arctg}(t)$ является строго возрастающей на всей своей области определения. Поскольку $x-1$ является возрастающей функцией от $x$, их композиция $\operatorname{arctg}(x-1)$ также строго возрастает. Вертикальный сдвиг не влияет на характер монотонности. Таким образом, функция $y = \operatorname{arctg}(x - 1) - \frac{\pi}{2}$ строго возрастает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.

4. Точки пересечения с осями координат
Пересечение с осью Oy (при $x=0$):
$y(0) = \operatorname{arctg}(0 - 1) - \frac{\pi}{2} = \operatorname{arctg}(-1) - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} = -\frac{3\pi}{4}$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0, -\frac{3\pi}{4})$.
Пересечение с осью Ox (при $y=0$):
$0 = \operatorname{arctg}(x - 1) - \frac{\pi}{2} \implies \operatorname{arctg}(x-1) = \frac{\pi}{2}$.
Это уравнение не имеет решений, так как значение $\frac{\pi}{2}$ не входит в область значений функции арктангенс. Следовательно, график функции не пересекает ось Ox.

5. Асимптоты
График функции $\operatorname{arctg}(t)$ имеет две горизонтальные асимптоты: $y = \frac{\pi}{2}$ при $t \to +\infty$ и $y = -\frac{\pi}{2}$ при $t \to -\infty$.
Для нашей функции:
При $x \to +\infty$, $(x-1) \to +\infty$, следовательно $\operatorname{arctg}(x-1) \to \frac{\pi}{2}$. Тогда $y \to \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = 0$. Горизонтальная асимптота $y=0$.
При $x \to -\infty$, $(x-1) \to -\infty$, следовательно $\operatorname{arctg}(x-1) \to -\frac{\pi}{2}$. Тогда $y \to -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = -\pi$. Горизонтальная асимптота $y=-\pi$.

Ответ: Для функции $y = \operatorname{arctg}(x - 1) - \frac{\pi}{2}$:
- Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
- Область значений: $E(y) = (-\pi; 0)$.
- Функция строго возрастает на $(-\infty; +\infty)$.
- Горизонтальные асимптоты: $y=0$ (при $x \to +\infty$) и $y=-\pi$ (при $x \to -\infty$).
- Точка пересечения с осью Oy: $(0, -\frac{3\pi}{4})$. Пересечений с осью Ox нет.

б) $y = \operatorname{arcctg}(x + 2) + \frac{\pi}{3}$

Проведем исследование данной функции, которая является преобразованием базовой функции арккотангенса $f(t) = \operatorname{arcctg}(t)$.

1. Область определения (D(y))
Функция арккотангенс, $f(t) = \operatorname{arcctg}(t)$, определена для всех действительных чисел, то есть $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
Аргументом функции является $x + 2$. Так как $x+2$ может принимать любые действительные значения, то и $x$ может быть любым действительным числом.
Следовательно, область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений (E(y))
Область значений базовой функции $f(t) = \operatorname{arcctg}(t)$ — это интервал $(0; \pi)$.
Это означает, что:
$0 < \operatorname{arcctg}(x + 2) < \pi$.
Наша функция $y$ получается из $\operatorname{arcctg}(x + 2)$ путем прибавления константы $\frac{\pi}{3}$, что соответствует сдвигу графика вверх по оси Oy. Чтобы найти новую область значений, прибавим $\frac{\pi}{3}$ ко всем частям неравенства:
$0 + \frac{\pi}{3} < \operatorname{arcctg}(x + 2) + \frac{\pi}{3} < \pi + \frac{\pi}{3}$
$\frac{\pi}{3} < y < \frac{4\pi}{3}$.
Следовательно, область значений функции: $E(y) = (\frac{\pi}{3}; \frac{4\pi}{3})$.

3. Монотонность
Функция $\operatorname{arcctg}(t)$ является строго убывающей на всей своей области определения. Так как $x+2$ — возрастающая функция от $x$, их композиция $\operatorname{arcctg}(x+2)$ является строго убывающей. Вертикальный сдвиг не влияет на характер монотонности. Таким образом, функция $y = \operatorname{arcctg}(x + 2) + \frac{\pi}{3}$ строго убывает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.

4. Точки пересечения с осями координат
Пересечение с осью Oy (при $x=0$):
$y(0) = \operatorname{arcctg}(0 + 2) + \frac{\pi}{3} = \operatorname{arcctg}(2) + \frac{\pi}{3}$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0, \operatorname{arcctg}(2) + \frac{\pi}{3})$.
Пересечение с осью Ox (при $y=0$):
$0 = \operatorname{arcctg}(x + 2) + \frac{\pi}{3} \implies \operatorname{arcctg}(x+2) = -\frac{\pi}{3}$.
Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции арккотангенс $(0; \pi)$ не содержит отрицательных чисел. Следовательно, график функции не пересекает ось Ox.

5. Асимптоты
График функции $\operatorname{arcctg}(t)$ имеет две горизонтальные асимптоты: $y = 0$ при $t \to +\infty$ и $y = \pi$ при $t \to -\infty$.
Для нашей функции:
При $x \to +\infty$, $(x+2) \to +\infty$, следовательно $\operatorname{arcctg}(x+2) \to 0$. Тогда $y \to 0 + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$. Горизонтальная асимптота $y=\frac{\pi}{3}$.
При $x \to -\infty$, $(x+2) \to -\infty$, следовательно $\operatorname{arcctg}(x+2) \to \pi$. Тогда $y \to \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$. Горизонтальная асимптота $y=\frac{4\pi}{3}$.

Ответ: Для функции $y = \operatorname{arcctg}(x + 2) + \frac{\pi}{3}$:
- Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
- Область значений: $E(y) = (\frac{\pi}{3}; \frac{4\pi}{3})$.
- Функция строго убывает на $(-\infty; +\infty)$.
- Горизонтальные асимптоты: $y=\frac{\pi}{3}$ (при $x \to +\infty$) и $y=\frac{4\pi}{3}$ (при $x \to -\infty$).
- Точка пересечения с осью Oy: $(0, \operatorname{arcctg}(2) + \frac{\pi}{3})$. Пересечений с осью Ox нет.