Номер 21.41, страница 132, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов


Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Звавич Л. И., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Рязановский А. Р.
Тип: Учебник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Часть: 2
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04648-6 (общ.), 978-5-346-04649-3 (ч. 1), 978-5-346-04650-9 (ч. 2),
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
§ 21. Обратные тригонометрические функции. Глава 3. Тригонометрические функции. ч. 2 - номер 21.41, страница 132.
№21.41 (с. 132)
Условие. №21.41 (с. 132)
скриншот условия

21.41. a) ;
б) .
Решение 1. №21.41 (с. 132)


Решение 2. №21.41 (с. 132)


Решение 3. №21.41 (с. 132)
а)
Для подробного анализа (исследования) данной функции рассмотрим её основные свойства: область определения, область значений, монотонность, точки пересечения с осями координат и асимптоты. Данная функция является результатом преобразований базовой функции .
1. Область определения (D(y))
Функция арктангенс, , определена для всех действительных чисел, то есть ее область определения .
В нашем случае аргументом функции является выражение . Так как арктангенс определен для любого значения своего аргумента, то может быть любым действительным числом, а значит, и может быть любым действительным числом.
Следовательно, область определения функции: .
2. Область значений (E(y))
Область значений базовой функции — это интервал .
Это означает, что для любой допустимой переменной выполняется неравенство:
.
Наша функция получается из путем вычитания константы , что соответствует сдвигу графика вниз по оси Oy. Чтобы найти новую область значений, вычтем из всех частей неравенства:
.
Следовательно, область значений функции: .
3. Монотонность
Функция является строго возрастающей на всей своей области определения. Поскольку является возрастающей функцией от , их композиция также строго возрастает. Вертикальный сдвиг не влияет на характер монотонности. Таким образом, функция строго возрастает на всей области определения .
4. Точки пересечения с осями координат
Пересечение с осью Oy (при ):
.
Точка пересечения с осью Oy: .
Пересечение с осью Ox (при ):
.
Это уравнение не имеет решений, так как значение не входит в область значений функции арктангенс. Следовательно, график функции не пересекает ось Ox.
5. Асимптоты
График функции имеет две горизонтальные асимптоты: при и при .
Для нашей функции:
При , , следовательно . Тогда . Горизонтальная асимптота .
При , , следовательно . Тогда . Горизонтальная асимптота .
Ответ: Для функции :
- Область определения: .
- Область значений: .
- Функция строго возрастает на .
- Горизонтальные асимптоты: (при ) и (при ).
- Точка пересечения с осью Oy: . Пересечений с осью Ox нет.
б)
Проведем исследование данной функции, которая является преобразованием базовой функции арккотангенса .
1. Область определения (D(y))
Функция арккотангенс, , определена для всех действительных чисел, то есть .
Аргументом функции является . Так как может принимать любые действительные значения, то и может быть любым действительным числом.
Следовательно, область определения функции: .
2. Область значений (E(y))
Область значений базовой функции — это интервал .
Это означает, что:
.
Наша функция получается из путем прибавления константы , что соответствует сдвигу графика вверх по оси Oy. Чтобы найти новую область значений, прибавим ко всем частям неравенства:
.
Следовательно, область значений функции: .
3. Монотонность
Функция является строго убывающей на всей своей области определения. Так как — возрастающая функция от , их композиция является строго убывающей. Вертикальный сдвиг не влияет на характер монотонности. Таким образом, функция строго убывает на всей области определения .
4. Точки пересечения с осями координат
Пересечение с осью Oy (при ):
.
Точка пересечения с осью Oy: .
Пересечение с осью Ox (при ):
.
Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции арккотангенс не содержит отрицательных чисел. Следовательно, график функции не пересекает ось Ox.
5. Асимптоты
График функции имеет две горизонтальные асимптоты: при и при .
Для нашей функции:
При , , следовательно . Тогда . Горизонтальная асимптота .
При , , следовательно . Тогда . Горизонтальная асимптота .
Ответ: Для функции :
- Область определения: .
- Область значений: .
- Функция строго убывает на .
- Горизонтальные асимптоты: (при ) и (при ).
- Точка пересечения с осью Oy: . Пересечений с осью Ox нет.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 21.41 расположенного на странице 132 для 2-й части к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №21.41 (с. 132), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Звавич (Леонид Исаакович), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Рязановский (А Р), 2-й части ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.