Номер 21.46, страница 133, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

21.46. a) $ \cos \left(\arcsin \left(-\frac{5}{13}\right)\right); $

Б) $ \operatorname{tg}(\arcsin 0,6); $

В) $ \cos \left(\arcsin \frac{8}{17}\right); $

Г) $ \operatorname{ctg}(\arcsin (-0,8)). $

а) $ \cos\left(\arcsin\left(-\frac{5}{13}\right)\right) $

Пусть $ \alpha = \arcsin\left(-\frac{5}{13}\right) $. По определению арксинуса, это означает, что $ \sin(\alpha) = -\frac{5}{13} $ и угол $ \alpha $ находится в промежутке $ \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $.

Поскольку $ \sin(\alpha) $ - отрицательное число, угол $ \alpha $ лежит в четвертой четверти, то есть $ \alpha \in \left[-\frac{\pi}{2}, 0\right] $. В этом промежутке косинус является неотрицательной функцией, то есть $ \cos(\alpha) \geq 0 $.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 $.

Отсюда $ \cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha) = 1 - \left(-\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169} $.

Тогда $ \cos(\alpha) = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13} $ (выбираем положительное значение, так как $ \cos(\alpha) \geq 0 $).

Следовательно, $ \cos\left(\arcsin\left(-\frac{5}{13}\right)\right) = \frac{12}{13} $.

Ответ: $ \frac{12}{13} $.

б) $ \text{tg}(\arcsin(0,6)) $

Пусть $ \alpha = \arcsin(0,6) $. Это значит, что $ \sin(\alpha) = 0,6 = \frac{3}{5} $ и $ \alpha \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $.

Поскольку $ \sin(\alpha) > 0 $, угол $ \alpha $ находится в первой четверти: $ \alpha \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] $. В этом промежутке косинус также положителен, $ \cos(\alpha) > 0 $.

Нам нужно найти $ \text{tg}(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} $. Для этого сначала найдем $ \cos(\alpha) $ из основного тригонометрического тождества:

$ \cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha) = 1 - (0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64 $.

$ \cos(\alpha) = \sqrt{0,64} = 0,8 $ (так как $ \cos(\alpha) > 0 $).

Теперь можем вычислить тангенс:

$ \text{tg}(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{0,6}{0,8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} $.

Ответ: $ \frac{3}{4} $.

в) $ \cos\left(\arcsin\left(\frac{8}{17}\right)\right) $

Пусть $ \alpha = \arcsin\left(\frac{8}{17}\right) $. По определению, $ \sin(\alpha) = \frac{8}{17} $ и $ \alpha \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $.

Так как $ \sin(\alpha) > 0 $, то $ \alpha \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] $. В этом интервале $ \cos(\alpha) \ge 0 $.

Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 $:

$ \cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha) = 1 - \left(\frac{8}{17}\right)^2 = 1 - \frac{64}{289} = \frac{289 - 64}{289} = \frac{225}{289} $.

Так как $ \cos(\alpha) \ge 0 $, то $ \cos(\alpha) = \sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{15}{17} $.

Следовательно, $ \cos\left(\arcsin\left(\frac{8}{17}\right)\right) = \frac{15}{17} $.

Ответ: $ \frac{15}{17} $.

г) $ \text{ctg}(\arcsin(-0,8)) $

Пусть $ \alpha = \arcsin(-0,8) $. Это означает, что $ \sin(\alpha) = -0,8 = -\frac{4}{5} $ и $ \alpha \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $.

Поскольку $ \sin(\alpha) < 0 $, угол $ \alpha $ лежит в четвертой четверти, $ \alpha \in \left[-\frac{\pi}{2}, 0\right] $. В этом промежутке $ \cos(\alpha) \ge 0 $.

Для нахождения $ \text{ctg}(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} $ сначала найдем $ \cos(\alpha) $.

Из основного тригонометрического тождества:

$ \cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha) = 1 - (-0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36 $.

$ \cos(\alpha) = \sqrt{0,36} = 0,6 $ (выбираем положительное значение).

Теперь находим котангенс:

$ \text{ctg}(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \frac{0,6}{-0,8} = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4} $.

Ответ: $ -\frac{3}{4} $.