Номер 21.50, страница 133, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

21.50. Постройте график функции:

а) $y = \arccos(\arccos x);$

б) $y = \text{arctg} x + \text{arctg}(-x);$

в) $y = \text{tg}(\text{arctg} x);$

г) $y = \arcsin x + \arcsin(-x).$

а) $y = \cos(\arccos x)$. По определению арккосинуса, $\arccos x$ — это число (угол) $\alpha \in [0; \pi]$ такое, что $\cos \alpha = x$. Область определения функции $\arccos x$ — это отрезок $D(\arccos) = [-1; 1]$. Следовательно, область определения данной функции $y = \cos(\arccos x)$ также $D(y) = [-1; 1]$. По определению обратной функции, для любого $x$ из области определения арккосинуса справедливо тождество $\cos(\arccos x) = x$. Таким образом, исходная функция эквивалентна функции $y=x$ на отрезке $[-1; 1]$. Графиком является отрезок прямой $y=x$, концы которого находятся в точках $(-1; -1)$ и $(1; 1)$.
Ответ: График функции — это отрезок прямой $y=x$ с концами в точках $(-1, -1)$ и $(1, 1)$.

б) $y = \operatorname{arctg} x + \operatorname{arctg}(-x)$. Область определения функции $\operatorname{arctg} x$ — все действительные числа, $D(\operatorname{arctg}) = \mathbb{R}$. Следовательно, область определения данной функции $D(y) = \mathbb{R}$. Функция арктангенс является нечетной, то есть для любого $x \in \mathbb{R}$ выполняется равенство $\operatorname{arctg}(-x) = -\operatorname{arctg} x$. Подставим это свойство в исходное уравнение функции: $y = \operatorname{arctg} x + (-\operatorname{arctg} x) = \operatorname{arctg} x - \operatorname{arctg} x = 0$. Таким образом, функция тождественно равна нулю для всех действительных значений $x$.
Ответ: График функции — это прямая $y=0$, то есть ось абсцисс (ось Ox).

в) $y = \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} x)$. По определению арктангенса, $\operatorname{arctg} x$ — это число (угол) $\alpha \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ такое, что $\operatorname{tg} \alpha = x$. Область определения функции $\operatorname{arctg} x$ — все действительные числа, $D(\operatorname{arctg}) = \mathbb{R}$. Так как область значений арктангенса $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ полностью входит в область определения тангенса, область определения исходной функции $y = \operatorname{tg}(\operatorname{arctg} x)$ совпадает с областью определения арктангенса, то есть $D(y) = \mathbb{R}$. По определению обратной функции, для любого $x$ справедливо тождество $\operatorname{tg}(\operatorname{arctg} x) = x$. Таким образом, мы получаем функцию $y=x$ для всех $x \in \mathbb{R}$.
Ответ: График функции — это прямая $y=x$.

г) $y = \arcsin x + \arcsin(-x)$. Область определения функции $\arcsin x$ — это отрезок $D(\arcsin) = [-1; 1]$. Следовательно, область определения данной функции $D(y) = [-1; 1]$. Функция арксинус является нечетной, то есть для любого $x \in [-1; 1]$ выполняется равенство $\arcsin(-x) = -\arcsin x$. Подставим это свойство в исходное уравнение функции: $y = \arcsin x + (-\arcsin x) = \arcsin x - \arcsin x = 0$. Таким образом, функция равна нулю для всех $x$ из отрезка $[-1; 1]$.
Ответ: График функции — это отрезок оси абсцисс (оси Ox) от точки $(-1; 0)$ до точки $(1; 0)$.