Номер 21.49, страница 133, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

21.49. Докажите, что:

а) $\sin (\arctg x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$;

б) $\tg (\arcsin x) = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$;

в) $\sin (\arcctg x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$;

г) $\tg (\arccos x) = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}$.

а) Докажем тождество $\sin(\operatorname{arctg} x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$.
Пусть $\alpha = \operatorname{arctg} x$. По определению арктангенса, это означает, что $\operatorname{tg} \alpha = x$ и $-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2}$.
Нам нужно найти $\sin \alpha$. Для этого воспользуемся тригонометрическим тождеством $1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$.
Подставим $\operatorname{tg} \alpha = x$:
$1 + x^2 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$
$\cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + x^2}$
Поскольку угол $\alpha$ находится в интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, его косинус положителен: $\cos \alpha > 0$. Следовательно, $\cos \alpha = \sqrt{\frac{1}{1 + x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$.
Теперь выразим синус через тангенс и косинус: $\sin \alpha = \operatorname{tg} \alpha \cdot \cos \alpha$.
$\sin \alpha = x \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$.
Так как $\alpha = \operatorname{arctg} x$, тождество доказано.
Ответ: $\sin(\operatorname{arctg} x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$.

б) Докажем тождество $\operatorname{tg}(\arcsin x) = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$.
Область определения левой и правой частей: $x \in (-1, 1)$.
Пусть $\alpha = \arcsin x$. По определению арксинуса, это означает, что $\sin \alpha = x$ и $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$. Поскольку $x \in (-1, 1)$, то $-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2}$.
Нам нужно найти $\operatorname{tg} \alpha$. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - x^2$.
Поскольку угол $\alpha$ находится в интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, его косинус положителен: $\cos \alpha > 0$. Следовательно, $\cos \alpha = \sqrt{1 - x^2}$.
Теперь найдем тангенс: $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.
$\operatorname{tg} \alpha = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$.
Так как $\alpha = \arcsin x$, тождество доказано.
Ответ: $\operatorname{tg}(\arcsin x) = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$.

в) Докажем тождество $\sin(\operatorname{arcctg} x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$.
Пусть $\alpha = \operatorname{arcctg} x$. По определению арккотангенса, это означает, что $\operatorname{ctg} \alpha = x$ и $0 < \alpha < \pi$.
Нам нужно найти $\sin \alpha$. Воспользуемся тригонометрическим тождеством $1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$.
Подставим $\operatorname{ctg} \alpha = x$:
$1 + x^2 = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$
$\sin^2 \alpha = \frac{1}{1 + x^2}$
Поскольку угол $\alpha$ находится в интервале $(0, \pi)$, его синус положителен: $\sin \alpha > 0$. Следовательно, $\sin \alpha = \sqrt{\frac{1}{1 + x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$.
Так как $\alpha = \operatorname{arcctg} x$, тождество доказано.
Ответ: $\sin(\operatorname{arcctg} x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$.

г) Докажем тождество $\operatorname{tg}(\arccos x) = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}$.
Область определения левой части $x \in [-1, 1]$, правой части $x \in [-1, 1], x \neq 0$. Таким образом, тождество рассматривается для $x \in [-1, 0) \cup (0, 1]$.
Пусть $\alpha = \arccos x$. По определению арккосинуса, это означает, что $\cos \alpha = x$ и $0 \le \alpha \le \pi$. Поскольку $x \neq 0$, то $\alpha \neq \frac{\pi}{2}$.
Нам нужно найти $\operatorname{tg} \alpha$. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - x^2$.
Поскольку угол $\alpha$ находится в промежутке $[0, \pi]$, его синус неотрицателен: $\sin \alpha \ge 0$. Следовательно, $\sin \alpha = \sqrt{1 - x^2}$.
Теперь найдем тангенс: $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.
$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}$.
Так как $\alpha = \arccos x$, тождество доказано.
Ответ: $\operatorname{tg}(\arccos x) = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}$.