Номер 21.56, страница 134, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

21.56. a) $ \arcsin \left( \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} \right) - \arcsin \sqrt{\frac{3}{x}} - \frac{\pi}{6} = 0; $

б) $ \arccos \left( \operatorname{ctg} \frac{3\pi}{4} \right) + \operatorname{arctg} \sqrt{2x - 1} - \frac{7\pi}{6} = 0. $

а) $ \arcsin(\tg\frac{\pi}{4}) - \arcsin\sqrt{\frac{3}{x}} - \frac{\pi}{6} = 0 $

Решим данное уравнение. Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ).
Аргумент арксинуса должен находиться в промежутке $[-1, 1]$, а выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$ \begin{cases} \frac{3}{x} \ge 0 \\ -1 \le \sqrt{\frac{3}{x}} \le 1 \end{cases} $
Из первого неравенства $ \frac{3}{x} \ge 0 $ следует, что $ x > 0 $.
Так как квадратный корень всегда неотрицателен, второе неравенство можно переписать как $ 0 \le \sqrt{\frac{3}{x}} \le 1 $.
Возведем в квадрат обе части неравенства: $ 0 \le \frac{3}{x} \le 1 $.
Так как $ x > 0 $, мы можем умножить на $x$, не меняя знака неравенства: $ 3 \le x $.
Таким образом, ОДЗ: $ x \ge 3 $.

Теперь приступим к решению уравнения.
Вычислим известные значения. Тангенс угла $ \frac{\pi}{4} $ равен 1:
$ \tg\frac{\pi}{4} = 1 $
Следовательно, $ \arcsin(\tg\frac{\pi}{4}) = \arcsin(1) = \frac{\pi}{2} $.
Подставим это значение в исходное уравнение:
$ \frac{\pi}{2} - \arcsin\sqrt{\frac{3}{x}} - \frac{\pi}{6} = 0 $
Выразим $ \arcsin\sqrt{\frac{3}{x}} $:
$ \arcsin\sqrt{\frac{3}{x}} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} $
$ \arcsin\sqrt{\frac{3}{x}} = \frac{3\pi - \pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} $
Значение $ \frac{\pi}{3} $ входит в область значений арксинуса $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, поэтому решение существует. Применим синус к обеим частям уравнения:
$ \sin(\arcsin\sqrt{\frac{3}{x}}) = \sin(\frac{\pi}{3}) $
$ \sqrt{\frac{3}{x}} = \frac{\sqrt{3}}{2} $
Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня:
$ (\sqrt{\frac{3}{x}})^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 $
$ \frac{3}{x} = \frac{3}{4} $
Отсюда находим $ x $:
$ x = 4 $
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Так как $ 4 \ge 3 $, корень подходит.

Ответ: $ x = 4 $.

б) $ \arccos(\operatorname{ctg}\frac{3\pi}{4}) + \operatorname{arctg}\sqrt{2x-1} - \frac{7\pi}{6} = 0 $

Решим данное уравнение. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$ 2x-1 \ge 0 $
$ 2x \ge 1 $
$ x \ge \frac{1}{2} $
ОДЗ: $ x \ge \frac{1}{2} $. Аргументом арктангенса может быть любое действительное число, поэтому других ограничений нет.

Теперь решаем уравнение.
Вычислим известные значения. Котангенс угла $ \frac{3\pi}{4} $ равен -1:
$ \operatorname{ctg}\frac{3\pi}{4} = \operatorname{ctg}(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\operatorname{ctg}\frac{\pi}{4} = -1 $.
Следовательно, $ \arccos(\operatorname{ctg}\frac{3\pi}{4}) = \arccos(-1) = \pi $.
Подставим это значение в исходное уравнение:
$ \pi + \operatorname{arctg}\sqrt{2x-1} - \frac{7\pi}{6} = 0 $
Выразим $ \operatorname{arctg}\sqrt{2x-1} $:
$ \operatorname{arctg}\sqrt{2x-1} = \frac{7\pi}{6} - \pi $
$ \operatorname{arctg}\sqrt{2x-1} = \frac{7\pi - 6\pi}{6} = \frac{\pi}{6} $
Значение $ \frac{\pi}{6} $ входит в область значений арктангенса $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, поэтому решение существует. Применим тангенс к обеим частям уравнения:
$ \tan(\operatorname{arctg}\sqrt{2x-1}) = \tan(\frac{\pi}{6}) $
$ \sqrt{2x-1} = \frac{1}{\sqrt{3}} $
Возведем обе части в квадрат:
$ (\sqrt{2x-1})^2 = (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 $
$ 2x-1 = \frac{1}{3} $
$ 2x = 1 + \frac{1}{3} $
$ 2x = \frac{4}{3} $
$ x = \frac{4}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $
Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ. Так как $ \frac{2}{3} \ge \frac{1}{2} $ (что верно, поскольку $ \frac{4}{6} \ge \frac{3}{6} $), корень подходит.

Ответ: $ x = \frac{2}{3} $.