Номер 21.60, страница 135, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите неравенство:

21.60. a) $ \arccos x > \frac{3\pi}{4}; $

б) $ \operatorname{arctg} x > -\frac{\pi}{4}; $

в) $ \arcsin x < \frac{3\pi}{4}; $

г) $ \operatorname{arcctg} x \le \frac{5\pi}{6}. $

а) Дано неравенство $ \arccos x > \frac{3\pi}{4} $.
Область определения функции $y = \arccos x$ есть отрезок $x \in [-1, 1]$.
Область значений функции $y = \arccos x$ есть отрезок $y \in [0, \pi]$.
Совместим данное неравенство с областью значений арккосинуса. Так как $\arccos x \le \pi$, получаем двойное неравенство: $ \frac{3\pi}{4} < \arccos x \le \pi $.
Функция косинус является монотонно убывающей на отрезке $[0, \pi]$. Применим косинус ко всем частям двойного неравенства, изменив при этом знаки неравенства на противоположные: $ \cos(\pi) \le \cos(\arccos x) < \cos(\frac{3\pi}{4}) $.
Вычислим значения: $ \cos(\pi) = -1 $ и $ \cos(\frac{3\pi}{4}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
Таким образом, получаем: $ -1 \le x < -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
Этот интервал входит в область определения $x \in [-1, 1]$.
Ответ: $x \in [-1, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

б) Дано неравенство $ \arctan x > -\frac{\pi}{4} $.
Область определения функции $y = \arctan x$ есть $x \in (-\infty, +\infty)$.
Область значений функции $y = \arctan x$ есть интервал $y \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Совместим данное неравенство с областью значений арктангенса. Так как $\arctan x < \frac{\pi}{2}$, получаем двойное неравенство: $ -\frac{\pi}{4} < \arctan x < \frac{\pi}{2} $.
Функция тангенс является монотонно возрастающей на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Применим тангенс ко всем частям двойного неравенства, сохраняя знаки неравенства: $ \tan(-\frac{\pi}{4}) < \tan(\arctan x) < \tan(\frac{\pi}{2}) $.
Вычислим значения: $ \tan(-\frac{\pi}{4}) = -1 $. Предел $ \tan(y) $ при $ y \to \frac{\pi}{2}^- $ равен $+\infty$.
Таким образом, получаем: $ -1 < x < +\infty $.
Ответ: $x \in (-1, +\infty)$.

в) Дано неравенство $ \arcsin x < \frac{3\pi}{4} $.
Область определения функции $y = \arcsin x$ есть отрезок $x \in [-1, 1]$.
Область значений функции $y = \arcsin x$ есть отрезок $y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Сравним правую часть неравенства с максимальным значением арксинуса. Максимальное значение функции $\arcsin x$ равно $\frac{\pi}{2}$.
Поскольку $ \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{4} $, а $ \frac{2\pi}{4} < \frac{3\pi}{4} $, то любое значение из области значений арксинуса $y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ всегда будет меньше, чем $\frac{3\pi}{4}$.
Следовательно, неравенство $ \arcsin x < \frac{3\pi}{4} $ справедливо для всех $x$, при которых функция $\arcsin x$ определена.
Областью определения функции является отрезок $[-1, 1]$.
Ответ: $x \in [-1, 1]$.

г) Дано неравенство $ \text{arcctg } x \le \frac{5\pi}{6} $.
Область определения функции $y = \text{arcctg } x$ есть $x \in (-\infty, +\infty)$.
Область значений функции $y = \text{arcctg } x$ есть интервал $y \in (0, \pi)$.
Совместим данное неравенство с областью значений арккотангенса. Так как $\text{arcctg } x > 0$, получаем двойное неравенство: $ 0 < \text{arcctg } x \le \frac{5\pi}{6} $.
Функция котангенс является монотонно убывающей на интервале $(0, \pi)$. Применим котангенс ко всем частям двойного неравенства, изменив при этом знаки неравенства на противоположные: $ \cot(\frac{5\pi}{6}) \le \cot(\text{arcctg } x) < \lim_{y \to 0^+} \cot(y) $.
Вычислим значения: $ \cot(\frac{5\pi}{6}) = \cot(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\cot(\frac{\pi}{6}) = -\sqrt{3} $. Предел $ \cot(y) $ при $ y \to 0^+ $ равен $+\infty$.
Таким образом, получаем: $ -\sqrt{3} \le x < +\infty $.
Ответ: $x \in [-\sqrt{3}, +\infty)$.