Номер 21.65, страница 135, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

21.65. Решите уравнение:

a) $2x^3 - x + 4 = 10x^2 + 2 \cos(\arccos(0,5x - 3));$

б) $\sin(\arcsin (5x - 4)) = \sqrt{10x + 16}.$

а) $2x^3 - x + 4 = 10x^2 + 2 \cos(\arccos(0,5x - 3))$

Решение начнем с определения области допустимых значений (ОДЗ). Аргумент функции арккосинус должен находиться в пределах от –1 до 1 включительно:
$-1 \le 0,5x - 3 \le 1$
Прибавим 3 ко всем частям неравенства:
$2 \le 0,5x \le 4$
Умножим все части на 2:
$4 \le x \le 8$
Таким образом, ОДЗ: $x \in [4; 8]$.

На этой области справедливо тождество $\cos(\arccos(y)) = y$. Упростим правую часть уравнения:
$2 \cos(\arccos(0,5x - 3)) = 2(0,5x - 3) = x - 6$

Подставим это выражение в исходное уравнение:
$2x^3 - x + 4 = 10x^2 + x - 6$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить кубическое уравнение:
$2x^3 - 10x^2 - x - x + 4 + 6 = 0$
$2x^3 - 10x^2 - 2x + 10 = 0$
Разделим обе части на 2:
$x^3 - 5x^2 - x + 5 = 0$

Разложим левую часть на множители методом группировки:
$x^2(x - 5) - 1(x - 5) = 0$
$(x^2 - 1)(x - 5) = 0$
$(x - 1)(x + 1)(x - 5) = 0$

Корнями этого уравнения являются $x_1 = 1$, $x_2 = -1$, $x_3 = 5$.

Теперь проверим, какие из найденных корней принадлежат области допустимых значений $x \in [4; 8]$.
Корень $x = 1$ не принадлежит ОДЗ.
Корень $x = -1$ не принадлежит ОДЗ.
Корень $x = 5$ принадлежит ОДЗ, так как $4 \le 5 \le 8$.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: 5.

б) $\sin(\arcsin(5x - 4)) = \sqrt{10x + 16}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Она определяется двумя условиями:
1. Аргумент функции арксинус должен быть в пределах от –1 до 1:
$-1 \le 5x - 4 \le 1$
$3 \le 5x \le 5$
$0,6 \le x \le 1$
2. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$10x + 16 \ge 0$
$10x \ge -16$
$x \ge -1,6$

Пересечением этих двух условий является отрезок $[0,6; 1]$.

На области $x \in [0,6; 1]$ справедливо тождество $\sin(\arcsin(y)) = y$. Уравнение принимает вид:
$5x - 4 = \sqrt{10x + 16}$

Для решения этого иррационального уравнения необходимо возвести обе части в квадрат. Поскольку правая часть (арифметический квадратный корень) всегда неотрицательна, левая часть также должна быть неотрицательной:
$5x - 4 \ge 0$
$5x \ge 4$
$x \ge 0,8$

Объединяя это условие с найденной ранее ОДЗ $[0,6; 1]$, получаем итоговую область для корней уравнения: $x \in [0,8; 1]$.

Теперь возведем обе части уравнения $5x - 4 = \sqrt{10x + 16}$ в квадрат:
$(5x - 4)^2 = 10x + 16$
$25x^2 - 40x + 16 = 10x + 16$
$25x^2 - 50x = 0$

Вынесем общий множитель $25x$:
$25x(x - 2) = 0$
Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

Проверим, принадлежат ли эти корни итоговой области допустимых значений $x \in [0,8; 1]$.
Корень $x = 0$ не принадлежит отрезку $[0,8; 1]$.
Корень $x = 2$ не принадлежит отрезку $[0,8; 1]$.

Поскольку ни один из найденных корней не удовлетворяет ОДЗ, исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.