Страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

21.4. Имеет ли смысл выражение:

a) $\arcsin \left(-\frac{2}{3}\right)$;

б) $\arcsin 1,5$;

в) $\arcsin \left(3 - \sqrt{20}\right)$;

г) $\arcsin \left(4 - \sqrt{20}\right)$?

Выражение $\arcsin(a)$ имеет смысл (определено) только в том случае, если его аргумент $a$ принадлежит области определения функции арксинус, то есть отрезку $[-1; 1]$. Это означает, что для каждого выражения нужно проверить, выполняется ли неравенство $-1 \le a \le 1$.

а) $\arcsin\left(-\frac{2}{3}\right)$

Проверим, принадлежит ли аргумент $a = -\frac{2}{3}$ отрезку $[-1; 1]$.
Неравенство $-1 \le -\frac{2}{3} \le 1$ является верным, так как $-\frac{3}{3} \le -\frac{2}{3} \le \frac{3}{3}$.
Следовательно, выражение имеет смысл.
Ответ: имеет смысл.

б) $\arcsin 1,5$

Проверим, принадлежит ли аргумент $a = 1,5$ отрезку $[-1; 1]$.
Неравенство $-1 \le 1,5 \le 1$ является неверным, так как $1,5 > 1$.
Следовательно, выражение не имеет смысла.
Ответ: не имеет смысла.

в) $\arcsin(3 - \sqrt{20})$

Проверим, принадлежит ли аргумент $a = 3 - \sqrt{20}$ отрезку $[-1; 1]$.
Оценим значение $\sqrt{20}$. Так как $16 < 20 < 25$, то $\sqrt{16} < \sqrt{20} < \sqrt{25}$, откуда следует, что $4 < \sqrt{20} < 5$.
Теперь оценим значение выражения $3 - \sqrt{20}$.
Из $4 < \sqrt{20} < 5$ следует, что $-5 < -\sqrt{20} < -4$.
Прибавим 3 ко всем частям двойного неравенства: $3 - 5 < 3 - \sqrt{20} < 3 - 4$, то есть $-2 < 3 - \sqrt{20} < -1$.
Так как значение аргумента меньше $-1$, оно не входит в отрезок $[-1; 1]$.
Следовательно, выражение не имеет смысла.
Ответ: не имеет смысла.

г) $\arcsin(4 - \sqrt{20})$

Проверим, принадлежит ли аргумент $a = 4 - \sqrt{20}$ отрезку $[-1; 1]$.
Используем ту же оценку: $4 < \sqrt{20} < 5$.
Оценим значение выражения $4 - \sqrt{20}$.
Из $4 < \sqrt{20} < 5$ следует, что $-5 < -\sqrt{20} < -4$.
Прибавим 4 ко всем частям двойного неравенства: $4 - 5 < 4 - \sqrt{20} < 4 - 4$, то есть $-1 < 4 - \sqrt{20} < 0$.
Значение аргумента $4 - \sqrt{20}$ принадлежит интервалу $(-1; 0)$, который полностью содержится в отрезке $[-1; 1]$.
Проверим это строго:

• $4 - \sqrt{20} \le 1 \implies 3 \le \sqrt{20} \implies 9 \le 20$. Верно.
• $4 - \sqrt{20} \ge -1 \implies 5 \ge \sqrt{20} \implies 25 \ge 20$. Верно.

Так как $-1 \le 4 - \sqrt{20} \le 1$, выражение имеет смысл.
Ответ: имеет смысл.

21.5. Найдите область значений функции:

а) $y = 2 \arcsin x$;

б) $y = -4 \arcsin x$;

в) $y = \arcsin x + \frac{\pi}{2}$;

г) $y = \pi - 2 \arcsin x$.

Для нахождения области значений каждой функции мы будем исходить из того, что область значений функции арксинус $E(\arcsin x)$ — это отрезок $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Это можно записать в виде двойного неравенства:
$-\frac{\pi}{2} \le \arcsin x \le \frac{\pi}{2}$
Применяя к этому неравенству арифметические операции, мы найдем область значений для каждой из заданных функций.

а) $y = 2 \arcsin x$
Чтобы найти область значений функции $y = 2 \arcsin x$, умножим все части исходного неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знаки неравенства не изменятся:
$2 \cdot (-\frac{\pi}{2}) \le 2 \arcsin x \le 2 \cdot \frac{\pi}{2}$
Упростив, получаем:
$-\pi \le 2 \arcsin x \le \pi$
Следовательно, $-\pi \le y \le \pi$.
Ответ: $E(y) = [-\pi; \pi]$.

б) $y = -4 \arcsin x$
Умножим все части неравенства $-\frac{\pi}{2} \le \arcsin x \le \frac{\pi}{2}$ на -4. Так как -4 — отрицательное число, знаки неравенства изменятся на противоположные:
$(-4) \cdot (-\frac{\pi}{2}) \ge -4 \arcsin x \ge (-4) \cdot \frac{\pi}{2}$
Выполнив умножение, получим:
$2\pi \ge -4 \arcsin x \ge -2\pi$
Запишем это неравенство в стандартном виде (от меньшего к большему):
$-2\pi \le -4 \arcsin x \le 2\pi$
Следовательно, $-2\pi \le y \le 2\pi$.
Ответ: $E(y) = [-2\pi; 2\pi]$.

в) $y = \arcsin x + \frac{\pi}{2}$
К каждой части исходного неравенства $-\frac{\pi}{2} \le \arcsin x \le \frac{\pi}{2}$ прибавим $\frac{\pi}{2}$. Знаки неравенства при этом не изменятся:
$-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \le \arcsin x + \frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}$
Упростив, получаем:
$0 \le \arcsin x + \frac{\pi}{2} \le \pi$
Следовательно, $0 \le y \le \pi$.
Ответ: $E(y) = [0; \pi]$.

г) $y = \pi - 2 \arcsin x$
Преобразование выполним в два шага. Сначала умножим неравенство $-\frac{\pi}{2} \le \arcsin x \le \frac{\pi}{2}$ на -2. Так как -2 — отрицательное число, знаки неравенства меняются на противоположные:
$(-2) \cdot (-\frac{\pi}{2}) \ge -2 \arcsin x \ge (-2) \cdot \frac{\pi}{2}$
$\pi \ge -2 \arcsin x \ge -\pi$
Перепишем в стандартном виде:
$-\pi \le -2 \arcsin x \le \pi$
Теперь к каждой части этого неравенства прибавим $\pi$:
$\pi - \pi \le \pi - 2 \arcsin x \le \pi + \pi$
Упростив, получаем:
$0 \le \pi - 2 \arcsin x \le 2\pi$
Следовательно, $0 \le y \le 2\pi$.
Ответ: $E(y) = [0; 2\pi]$.

21.6. Исследуйте функцию на чётность:

а) $y = \frac{\arcsin x}{x^4}$;

б) $y = \sin^2 x + x \arcsin x$;

в) $y = \arcsin x^3 + 3 \cos 2x$;

г) $y = 2 \operatorname{tg} x + x^5 - 3 \arcsin 2x$.

а) $y = \frac{\arcsin x}{x^4}$
Для исследования функции на чётность необходимо сначала найти её область определения $D(y)$ и проверить, является ли она симметричной относительно начала координат. Затем нужно найти значение функции $y(-x)$ и сравнить его с $y(x)$.
1. Область определения.
Функция $\arcsin x$ определена на отрезке $[-1, 1]$.
Знаменатель дроби $x^4$ не должен быть равен нулю, следовательно, $x \neq 0$.
Объединяя эти условия, получаем область определения функции: $D(y) = [-1, 0) \cup (0, 1]$. Эта область является симметричной относительно точки $x=0$.
2. Проверка свойства чётности.
Найдем $y(-x)$:
$y(-x) = \frac{\arcsin(-x)}{(-x)^4}$
Используем свойства функций: арксинус является нечётной функцией, то есть $\arcsin(-x) = -\arcsin x$. Степенная функция с чётным показателем является чётной, то есть $(-x)^4 = x^4$.
Подставим эти выражения в формулу для $y(-x)$:
$y(-x) = \frac{-\arcsin x}{x^4} = - \frac{\arcsin x}{x^4} = -y(x)$
Так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = -y(x)$, функция является нечётной.
Ответ: функция нечётная.

б) $y = \sin^2 x + x \arcsin x$
1. Область определения.
Функция $\sin^2 x$ определена для всех действительных чисел $x$.
Выражение $x \arcsin x$ определено там же, где и $\arcsin x$, то есть на отрезке $[-1, 1]$.
Область определения всей функции $D(y)$ является пересечением областей определения слагаемых, то есть $D(y) = [-1, 1]$. Эта область симметрична относительно начала координат.
2. Проверка свойства чётности.
Найдем $y(-x)$:
$y(-x) = \sin^2(-x) + (-x)\arcsin(-x)$
Рассмотрим каждое слагаемое отдельно:
$\sin^2(-x) = (\sin(-x))^2 = (-\sin x)^2 = \sin^2 x$.
$(-x)\arcsin(-x) = (-x)(-\arcsin x) = x \arcsin x$.
Таким образом,
$y(-x) = \sin^2 x + x \arcsin x = y(x)$.
Так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = y(x)$, функция является чётной.
Ответ: функция чётная.

в) $y = \arcsin x^3 + 3 \cos 2x$
1. Область определения.
Функция $3\cos 2x$ определена для всех действительных чисел $x$.
Функция $\arcsin(x^3)$ определена при условии $-1 \le x^3 \le 1$, что равносильно $-1 \le x \le 1$.
Следовательно, область определения всей функции $D(y) = [-1, 1]$, она симметрична относительно нуля.
2. Проверка свойства чётности.
Найдем $y(-x)$:
$y(-x) = \arcsin((-x)^3) + 3\cos(2(-x))$
Рассмотрим каждое слагаемое:
$\arcsin((-x)^3) = \arcsin(-x^3) = -\arcsin x^3$ (так как $\arcsin$ - нечётная функция).
$3\cos(2(-x)) = 3\cos(-2x) = 3\cos 2x$ (так как $\cos$ - чётная функция).
Получаем:
$y(-x) = -\arcsin x^3 + 3\cos 2x$
Сравним $y(-x)$ с $y(x)$ и $-y(x)$:
$y(x) = \arcsin x^3 + 3\cos 2x$
$-y(x) = -\arcsin x^3 - 3\cos 2x$
Очевидно, что $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$ (кроме случая $x=0$). Функция представляет собой сумму нечётной функции $(\arcsin x^3)$ и чётной функции $(3\cos 2x)$, поэтому она не является ни чётной, ни нечётной.
Ответ: функция не является ни чётной, ни нечётной.

г) $y = 2 \tg x + x^5 - 3 \arcsin 2x$
1. Область определения.
Функция $2\tg x$ определена при $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Функция $x^5$ определена для всех $x \in \mathbb{R}$.
Функция $-3\arcsin 2x$ определена при $-1 \le 2x \le 1$, то есть $-\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$.
Область определения $D(y)$ - это пересечение этих условий. Поскольку отрезок $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ не содержит точек вида $\frac{\pi}{2} + \pi k$, область определения функции равна $D(y) = [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$. Эта область симметрична относительно начала координат.
2. Проверка свойства чётности.
Найдем $y(-x)$:
$y(-x) = 2\tg(-x) + (-x)^5 - 3\arcsin(2(-x))$
Используем свойства нечётности функций $\tg x$, $x^n$ (при нечётном n) и $\arcsin x$:
$\tg(-x) = -\tg x$
$(-x)^5 = -x^5$
$\arcsin(2(-x)) = \arcsin(-2x) = -\arcsin(2x)$
Подставляем в выражение:
$y(-x) = 2(-\tg x) + (-x^5) - 3(-\arcsin(2x)) = -2\tg x - x^5 + 3\arcsin(2x)$
Вынесем знак "-" за скобку:
$y(-x) = -(2\tg x + x^5 - 3\arcsin(2x)) = -y(x)$
Так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = -y(x)$, функция является нечётной. Это также следует из того, что она является алгебраической суммой трёх нечётных функций.
Ответ: функция нечётная.

Постройте график функции:

21.7. а) $y = \arcsin x$;

б) $y = \arcsin (-x)$;

в) $y = -\arcsin x$;

г) $y = -\arcsin (-x)$.

а) $y = \arcsin x$

Функция $y = \arcsin x$ (арксинус $x$) является обратной к функции $y = \sin x$ на отрезке $x \in [-\pi/2, \pi/2]$.

Основные свойства функции:

• Область определения: $D(y) = [-1, 1]$.
• Область значений: $E(y) = [-\pi/2, \pi/2]$.
• Нечетность: функция является нечетной, так как $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$. Ее график симметричен относительно начала координат.
• Монотонность: функция строго возрастает на всей области определения.

Для построения графика найдем несколько ключевых точек:

• при $x = -1$, $y = \arcsin(-1) = -\pi/2$;
• при $x = -1/2$, $y = \arcsin(-1/2) = -\pi/6$;
• при $x = 0$, $y = \arcsin(0) = 0$;
• при $x = 1/2$, $y = \arcsin(1/2) = \pi/6$;
• при $x = 1$, $y = \arcsin(1) = \pi/2$.

График функции представляет собой кривую, проходящую через начало координат, соединяющую точки $(-1, -\pi/2)$ и $(1, \pi/2)$.

Ответ: График функции $y = \arcsin x$ — это возрастающая кривая, симметричная относительно начала координат, с областью определения $[-1, 1]$ и областью значений $[-\pi/2, \pi/2]$, как показано на рисунке выше.

б) $y = \arcsin(-x)$

График функции $y = \arcsin(-x)$ можно получить из графика $y = \arcsin x$ с помощью геометрического преобразования. Преобразование вида $f(x) \to f(-x)$ соответствует симметричному отражению графика исходной функции относительно оси ординат (оси OY).

Также можно воспользоваться свойством нечетности функции арксинус: $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$. Таким образом, функция $y = \arcsin(-x)$ идентична функции $y = -\arcsin(x)$ из пункта в).

Основные свойства функции:

• Область определения: $-1 \le -x \le 1$, что эквивалентно $1 \ge x \ge -1$. $D(y) = [-1, 1]$.
• Область значений: $E(y) = [-\pi/2, \pi/2]$.
• Монотонность: функция строго убывает на всей области определения.

Ключевые точки графика — это точки из пункта а), отраженные относительно оси OY: $(-1, \pi/2)$, $(0, 0)$, $(1, -\pi/2)$.

Ответ: График функции $y = \arcsin(-x)$ является отражением графика $y = \arcsin x$ относительно оси OY. Это убывающая кривая, проходящая через точки $(-1, \pi/2)$ и $(1, -\pi/2)$, как показано на рисунке.

в) $y = -\arcsin x$

График функции $y = -\arcsin x$ можно получить из графика $y = \arcsin x$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс (оси OX). Это соответствует преобразованию $f(x) \to -f(x)$.

Как было показано в пункте б), из-за нечетности арксинуса, $y = -\arcsin x$ совпадает с $y = \arcsin(-x)$. Следовательно, их графики идентичны.

Ключевые точки графика — это точки из пункта а), отраженные относительно оси OX: $(-1, \pi/2)$, $(0, 0)$, $(1, -\pi/2)$.

Ответ: График функции $y = -\arcsin x$ является отражением графика $y = \arcsin x$ относительно оси OX. График идентичен графику функции из пункта б).

г) $y = -\arcsin(-x)$

Для построения этого графика воспользуемся свойством нечетности функции арксинус: $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$.

Подставим это в исходное уравнение:

$y = -(\arcsin(-x)) = -(-\arcsin x) = \arcsin x$.

Таким образом, функция $y = -\arcsin(-x)$ полностью идентична функции $y = \arcsin x$ из пункта а).

Геометрически это можно интерпретировать как последовательное выполнение двух преобразований: сначала отражение графика $y = \arcsin x$ относительно оси OY (получаем $y = \arcsin(-x)$), а затем отражение полученного графика относительно оси OX. Два таких отражения эквивалентны центральной симметрии относительно начала координат. Поскольку график $y = \arcsin x$ уже симметричен относительно начала координат, он переходит сам в себя.

Ответ: График функции $y = -\arcsin(-x)$ совпадает с графиком функции $y = \arcsin x$ из пункта а).

21.8. a) $y = \arcsin (x - 1) + \frac{\pi}{2}$;

б) $y = -\arcsin (x + 2) - \frac{\pi}{3}$.

а) $y = \arcsin(x - 1) + \frac{\pi}{2}$

Чтобы найти область значений функции, необходимо определить, какие значения может принимать $y$.

Область значений стандартной функции арксинус $f(t) = \arcsin(t)$ есть отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Это означает, что для любого допустимого аргумента функции (в данном случае, для $t = x - 1$) выполняется двойное неравенство:
$-\frac{\pi}{2} \le \arcsin(x - 1) \le \frac{\pi}{2}$

Функция $y$ получается из $\arcsin(x-1)$ прибавлением константы $\frac{\pi}{2}$. Чтобы найти границы для $y$, прибавим $\frac{\pi}{2}$ ко всем частям неравенства:
$-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \le \arcsin(x - 1) + \frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}$

Выполним сложение:
$0 \le y \le \pi$

Следовательно, область значений данной функции — это отрезок от 0 до $\pi$.

Ответ: $E(y) = [0, \pi]$.

б) $y = -\arcsin(x + 2) - \frac{\pi}{3}$

Действуем аналогично предыдущему пункту. Исходной является функция арксинус.

Область значений для $\arcsin(x+2)$ также является отрезком $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$:
$-\frac{\pi}{2} \le \arcsin(x + 2) \le \frac{\pi}{2}$

Сначала умножим все части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$(-\frac{\pi}{2}) \cdot (-1) \ge -\arcsin(x + 2) \ge \frac{\pi}{2} \cdot (-1)$
$\frac{\pi}{2} \ge -\arcsin(x + 2) \ge -\frac{\pi}{2}$

Для удобства запишем это неравенство в стандартном виде (от меньшего к большему):
$-\frac{\pi}{2} \le -\arcsin(x + 2) \le \frac{\pi}{2}$

Теперь вычтем константу $\frac{\pi}{3}$ из всех частей неравенства, чтобы получить выражение для $y$:
$-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} \le -\arcsin(x + 2) - \frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}$

Приведем дроби к общему знаменателю 6 и выполним вычисления:
$-\frac{3\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} \le y \le \frac{3\pi}{6} - \frac{2\pi}{6}$
$-\frac{5\pi}{6} \le y \le \frac{\pi}{6}$

Таким образом, область значений данной функции — это отрезок от $-\frac{5\pi}{6}$ до $\frac{\pi}{6}$.

Ответ: $E(y) = [-\frac{5\pi}{6}, \frac{\pi}{6}]$.

21.9. а) $y = 2 \arcsin x;$

б) $y = \frac{\pi}{3} - \arcsin x;$

в) $y = -\frac{1}{3} \arcsin x;$

г) $y = -2 \arcsin (x - 3).$

Для решения задачи найдём область определения и область значений для каждой из предложенных функций.

Основная функция $f(x) = \arcsin x$ имеет следующие свойства:

• Область определения $D(f) = [-1, 1]$
• Область значений $E(f) = [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$

Эти свойства мы будем использовать для анализа каждой функции.

а) $y = 2 \arcsin x$

1. Область определения. Аргумент функции арксинус здесь $x$. Следовательно, его значения должны принадлежать отрезку $[-1, 1]$. Таким образом, область определения $D(y)$ функции $y = 2 \arcsin x$ совпадает с областью определения $y = \arcsin x$.
$D(y) = [-1, 1]$.

2. Область значений. Мы знаем, что для любого $x$ из области определения выполняется неравенство: $-\frac{\pi}{2} \le \arcsin x \le \frac{\pi}{2}$.
Чтобы найти область значений для $y = 2 \arcsin x$, умножим все части этого неравенства на 2: $2 \cdot (-\frac{\pi}{2}) \le 2 \arcsin x \le 2 \cdot \frac{\pi}{2}$
$-\pi \le y \le \pi$.
Следовательно, область значений $E(y) = [-\pi, \pi]$.

Ответ: Область определения $D(y) = [-1, 1]$; область значений $E(y) = [-\pi, \pi]$.

б) $y = \frac{\pi}{3} - \arcsin x$

1. Область определения. Аргумент функции арксинус - $x$. Значит, область определения не отличается от стандартной: $D(y) = [-1, 1]$.

2. Область значений. Исходим из неравенства для $\arcsin x$: $-\frac{\pi}{2} \le \arcsin x \le \frac{\pi}{2}$.
Сначала умножим неравенство на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные: $-(\frac{\pi}{2}) \le -\arcsin x \le -(-\frac{\pi}{2})$
$-\frac{\pi}{2} \le -\arcsin x \le \frac{\pi}{2}$.
Теперь прибавим $\frac{\pi}{3}$ ко всем частям неравенства: $\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{3} - \arcsin x \le \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2}$.
Приведем дроби к общему знаменателю: $\frac{2\pi - 3\pi}{6} \le y \le \frac{2\pi + 3\pi}{6}$
$-\frac{\pi}{6} \le y \le \frac{5\pi}{6}$.
Следовательно, область значений $E(y) = [-\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}]$.

Ответ: Область определения $D(y) = [-1, 1]$; область значений $E(y) = [-\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}]$.

в) $y = -\frac{1}{3}\arcsin x$

1. Область определения. Аргумент функции арксинус - $x$. Область определения совпадает со стандартной: $D(y) = [-1, 1]$.

2. Область значений. Используем известное неравенство: $-\frac{\pi}{2} \le \arcsin x \le \frac{\pi}{2}$.
Умножим все части на $-\frac{1}{3}$. Не забываем изменить знаки неравенства на противоположные: $(-\frac{1}{3}) \cdot \frac{\pi}{2} \le -\frac{1}{3}\arcsin x \le (-\frac{1}{3}) \cdot (-\frac{\pi}{2})$
$-\frac{\pi}{6} \le y \le \frac{\pi}{6}$.
Следовательно, область значений $E(y) = [-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}]$.

Ответ: Область определения $D(y) = [-1, 1]$; область значений $E(y) = [-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}]$.

г) $y = -2 \arcsin(x - 3)$

1. Область определения. Аргументом функции арксинус является выражение $(x-3)$. Это выражение должно находиться в пределах от -1 до 1: $-1 \le x - 3 \le 1$.
Чтобы найти $x$, прибавим 3 ко всем частям двойного неравенства: $-1 + 3 \le x \le 1 + 3$
$2 \le x \le 4$.
Таким образом, область определения $D(y) = [2, 4]$.

2. Область значений. Значение выражения $\arcsin(x-3)$ лежит в отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$: $-\frac{\pi}{2} \le \arcsin(x-3) \le \frac{\pi}{2}$.
Умножим все части неравенства на -2, меняя знаки неравенства: $(-2) \cdot \frac{\pi}{2} \le -2 \arcsin(x - 3) \le (-2) \cdot (-\frac{\pi}{2})$
$-\pi \le y \le \pi$.
Следовательно, область значений $E(y) = [-\pi, \pi]$.

Ответ: Область определения $D(y) = [2, 4]$; область значений $E(y) = [-\pi, \pi]$.

21.10. a) $y = \arcsin 2x;$

В) $y = \arcsin \frac{x}{3};$

б) $y = \arcsin \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6};$

Г) $y = \arcsin 2(x - 1) + \frac{\pi}{2}.$

а) $y = \arcsin 2x$

Для нахождения области определения функции $y = \arcsin(f(x))$ необходимо решить неравенство $-1 \le f(x) \le 1$. В данном случае $f(x) = 2x$.

Решим двойное неравенство:

$-1 \le 2x \le 1$

Разделим все части неравенства на 2:

$-\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$

Таким образом, область определения функции $D(y) = [-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$.

Область значений стандартной функции $z = \arcsin u$ есть отрезок $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Поскольку в функции $y = \arcsin 2x$ преобразование затрагивает только аргумент, область значений не изменяется.

Таким образом, область значений функции $E(y) = [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Ответ: область определения $D(y) = [-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$; область значений $E(y) = [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

б) $y = \arcsin\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}$

Найдем область определения функции. Аргумент функции арксинус $\frac{x}{2}$ должен удовлетворять условию:

$-1 \le \frac{x}{2} \le 1$

Умножим все части неравенства на 2:

$-2 \le x \le 2$

Следовательно, область определения функции $D(y) = [-2; 2]$.

Найдем область значений функции. Исходная область значений для $\arcsin\frac{x}{2}$ есть отрезок $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

$-\frac{\pi}{2} \le \arcsin\frac{x}{2} \le \frac{\pi}{2}$

К каждой части неравенства прибавим $\frac{\pi}{6}$:

$-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} \le \arcsin\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}$

$-\frac{3\pi}{6} + \frac{\pi}{6} \le y \le \frac{3\pi}{6} + \frac{\pi}{6}$

$-\frac{2\pi}{6} \le y \le \frac{4\pi}{6}$

$-\frac{\pi}{3} \le y \le \frac{2\pi}{3}$

Следовательно, область значений функции $E(y) = [-\frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}]$.

Ответ: область определения $D(y) = [-2; 2]$; область значений $E(y) = [-\frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}]$.

в) $y = \arcsin\frac{x}{3}$

Найдем область определения функции. Аргумент $\frac{x}{3}$ должен находиться в пределах от $-1$ до $1$:

$-1 \le \frac{x}{3} \le 1$

Умножим все части неравенства на 3:

$-3 \le x \le 3$

Таким образом, область определения функции $D(y) = [-3; 3]$.

Найдем область значений функции. Стандартная область значений для функции $z = \arcsin u$ есть отрезок $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Преобразование аргумента $u = \frac{x}{3}$ не изменяет область значений функции арксинус.

Таким образом, область значений функции $E(y) = [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Ответ: область определения $D(y) = [-3; 3]$; область значений $E(y) = [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

г) $y = \arcsin(2(x - 1)) + \frac{\pi}{2}$

Найдем область определения функции. Аргумент $2(x - 1)$ должен удовлетворять условию:

$-1 \le 2(x - 1) \le 1$

Разделим все части неравенства на 2:

$-\frac{1}{2} \le x - 1 \le \frac{1}{2}$

Прибавим 1 ко всем частям неравенства:

$-\frac{1}{2} + 1 \le x \le \frac{1}{2} + 1$

$\frac{1}{2} \le x \le \frac{3}{2}$

Следовательно, область определения функции $D(y) = [\frac{1}{2}; \frac{3}{2}]$.

Найдем область значений функции. Область значений для $z = \arcsin u$ есть отрезок $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. В нашем случае $u = 2(x-1)$, поэтому:

$-\frac{\pi}{2} \le \arcsin(2(x-1)) \le \frac{\pi}{2}$

Теперь прибавим $\frac{\pi}{2}$ ко всем частям двойного неравенства, чтобы найти область значений для $y$:

$-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \le \arcsin(2(x-1)) + \frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}$

$0 \le y \le \pi$

Следовательно, область значений функции $E(y) = [0; \pi]$.

Ответ: область определения $D(y) = [\frac{1}{2}; \frac{3}{2}]$; область значений $E(y) = [0; \pi]$.

21.11. Постройте и прочитайте график функции:

a) $y = \begin{cases} \frac{\pi x}{2}, & \text{если } x < -1, \\ \arcsin x, & \text{если } -1 \le x \le 1, \\ \frac{\pi}{2}, & \text{если } x > 1. \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} \arcsin x, & \text{если } -1 \le x \le 0, \\ -\arcsin x, & \text{если } 0 < x \le 1, \\ (x - 1)^2 - \frac{\pi}{2}, & \text{если } 1 < x \le 3. \end{cases}$

а) $y = \begin{cases} \frac{\pi x}{2}, & \text{если } x < -1 \\ \arcsin x, & \text{если } -1 \le x \le 1 \\ \frac{\pi}{2}, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

Для построения графика разобьем его на три части в соответствии с условием.
1. При $x < -1$ функция имеет вид $y = \frac{\pi x}{2}$. Это линейная функция, график которой — прямая, проходящая через начало координат. Мы строим ее часть — луч на интервале $(-\infty, -1)$. Угловой коэффициент $k = \frac{\pi}{2} \approx 1.57 > 0$, функция возрастает. На границе интервала, в точке $x=-1$, значение функции стремится к $y = \frac{\pi(-1)}{2} = -\frac{\pi}{2}$. Точка $(-1, -\frac{\pi}{2})$ будет выколотой для этого луча.
2. При $-1 \le x \le 1$ функция имеет вид $y = \arcsin x$. Это график стандартной функции арксинус, который расположен в диапазоне от $x=-1$ до $x=1$. Ключевые точки: $(-1, -\frac{\pi}{2})$, $(0, 0)$, $(1, \frac{\pi}{2})$.
3. При $x > 1$ функция имеет вид $y = \frac{\pi}{2}$. Это константа, ее график — горизонтальный луч, начинающийся от выколотой точки $(1, \frac{\pi}{2})$.
Объединим графики. В точке $x=-1$ первая часть заканчивается в $y = -\frac{\pi}{2}$, а вторая начинается в $y = \arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$. В точке $x=1$ вторая часть заканчивается в $y = \arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$, а третья начинается в $y = \frac{\pi}{2}$. Таким образом, функция является непрерывной на всей числовой оси.

Прочитаем график (перечислим свойства функции):
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = (-\infty; \frac{\pi}{2}]$.
3. Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.
4. Четность/нечетность: функция общего вида. Область определения симметрична, но $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$. Например, $y(2) = \frac{\pi}{2}$, а $y(-2) = -\pi$.
5. Нули функции: $y=0$ при $x=0$, так как $\arcsin(0)=0$.
6. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.
7. Промежутки монотонности: функция строго возрастает на промежутке $(-\infty; 1]$ и постоянна на промежутке $(1; +\infty)$.
8. Экстремумы: локальных экстремумов нет. Глобального минимума нет. Глобальный максимум $y_{max} = \frac{\pi}{2}$ достигается при всех $x \in [1; +\infty)$.

Ответ: Построение графика и его свойства представлены выше. График является непрерывной неубывающей функцией. Область определения — все действительные числа, область значений — $(-\infty, \frac{\pi}{2}]$.

б) $y = \begin{cases} \arcsin x, & \text{если } -1 \le x \le 0 \\ -\arcsin x, & \text{если } 0 < x \le 1 \\ (x-1)^2 - \frac{\pi}{2}, & \text{если } 1 < x \le 3 \end{cases}$

Для построения графика разобьем его на три части в соответствии с условием на отрезке $[-1, 3]$.
1. При $-1 \le x \le 0$ функция имеет вид $y = \arcsin x$. Это часть графика арксинуса от точки $(-1, -\frac{\pi}{2})$ до точки $(0, 0)$.
2. При $0 < x \le 1$ функция имеет вид $y = -\arcsin x$. График этой функции симметричен графику $y = \arcsin x$ относительно оси абсцисс. Это убывающая кривая от выколотой точки $(0, 0)$ до точки $(1, -\frac{\pi}{2})$.
3. При $1 < x \le 3$ функция имеет вид $y = (x-1)^2 - \frac{\pi}{2}$. Это часть параболы, полученной сдвигом графика $y=x^2$ на 1 единицу вправо и на $\frac{\pi}{2}$ единиц вниз. Вершина параболы находится в точке $(1, -\frac{\pi}{2})$. На заданном интервале $(1, 3]$ функция возрастает от выколотой точки $(1, -\frac{\pi}{2})$ до точки $(3, (3-1)^2 - \frac{\pi}{2}) = (3, 4 - \frac{\pi}{2})$.
Объединим графики. В точках "стыка" $x=0$ и $x=1$ разрывов нет, так как значения функций и их пределы совпадают. $y(0) = \arcsin(0) = 0$ и $\lim_{x\to 0^+} (-\arcsin x) = 0$. $y(1) = -\arcsin(1) = -\frac{\pi}{2}$ и $\lim_{x\to 1^+} ((x-1)^2 - \frac{\pi}{2}) = -\frac{\pi}{2}$. Следовательно, функция непрерывна на всей своей области определения.

Прочитаем график (перечислим свойства функции):
1. Область определения: $D(y) = [-1; 3]$.
2. Область значений: $E(y) = [-\frac{\pi}{2}; 4 - \frac{\pi}{2}]$.
3. Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.
4. Четность/нечетность: функция общего вида, так как область определения несимметрична относительно нуля.
5. Нули функции: $y=0$ при $x=0$ (из первой части) и при $(x-1)^2 - \frac{\pi}{2} = 0 \Rightarrow x=1+\sqrt{\frac{\pi}{2}} \approx 2.25$ (из третьей части).
6. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (1+\sqrt{\frac{\pi}{2}}; 3]$; $y < 0$ при $x \in [-1; 0) \cup (0; 1+\sqrt{\frac{\pi}{2}})$.
7. Промежутки монотонности: функция возрастает на отрезках $[-1; 0]$ и $[1; 3]$; убывает на отрезке $[0; 1]$.
8. Экстремумы:
• Точка локального максимума: $x=0$, $y(0)=0$.
• Точка локального минимума: $x=1$, $y(1)=-\frac{\pi}{2}$.
• Глобальный минимум: $y_{min} = -\frac{\pi}{2}$ достигается в точках $x=-1$ и $x=1$.
• Глобальный максимум: $y_{max} = 4 - \frac{\pi}{2}$ достигается в точке $x=3$.

Ответ: Построение графика и его свойства представлены выше. График — непрерывная функция на отрезке $[-1, 3]$. Область значений — $[-\frac{\pi}{2}, 4-\frac{\pi}{2}]$. Функция имеет локальный максимум в $(0, 0)$ и глобальный минимум $y=-\frac{\pi}{2}$ в точках $x=-1$ и $x=1$.