Номер 21.4, страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

21.4. Имеет ли смысл выражение:

a) $\arcsin \left(-\frac{2}{3}\right)$;

б) $\arcsin 1,5$;

в) $\arcsin \left(3 - \sqrt{20}\right)$;

г) $\arcsin \left(4 - \sqrt{20}\right)$?

Выражение $\arcsin(a)$ имеет смысл (определено) только в том случае, если его аргумент $a$ принадлежит области определения функции арксинус, то есть отрезку $[-1; 1]$. Это означает, что для каждого выражения нужно проверить, выполняется ли неравенство $-1 \le a \le 1$.

а) $\arcsin\left(-\frac{2}{3}\right)$

Проверим, принадлежит ли аргумент $a = -\frac{2}{3}$ отрезку $[-1; 1]$.
Неравенство $-1 \le -\frac{2}{3} \le 1$ является верным, так как $-\frac{3}{3} \le -\frac{2}{3} \le \frac{3}{3}$.
Следовательно, выражение имеет смысл.
Ответ: имеет смысл.

б) $\arcsin 1,5$

Проверим, принадлежит ли аргумент $a = 1,5$ отрезку $[-1; 1]$.
Неравенство $-1 \le 1,5 \le 1$ является неверным, так как $1,5 > 1$.
Следовательно, выражение не имеет смысла.
Ответ: не имеет смысла.

в) $\arcsin(3 - \sqrt{20})$

Проверим, принадлежит ли аргумент $a = 3 - \sqrt{20}$ отрезку $[-1; 1]$.
Оценим значение $\sqrt{20}$. Так как $16 < 20 < 25$, то $\sqrt{16} < \sqrt{20} < \sqrt{25}$, откуда следует, что $4 < \sqrt{20} < 5$.
Теперь оценим значение выражения $3 - \sqrt{20}$.
Из $4 < \sqrt{20} < 5$ следует, что $-5 < -\sqrt{20} < -4$.
Прибавим 3 ко всем частям двойного неравенства: $3 - 5 < 3 - \sqrt{20} < 3 - 4$, то есть $-2 < 3 - \sqrt{20} < -1$.
Так как значение аргумента меньше $-1$, оно не входит в отрезок $[-1; 1]$.
Следовательно, выражение не имеет смысла.
Ответ: не имеет смысла.

г) $\arcsin(4 - \sqrt{20})$

Проверим, принадлежит ли аргумент $a = 4 - \sqrt{20}$ отрезку $[-1; 1]$.
Используем ту же оценку: $4 < \sqrt{20} < 5$.
Оценим значение выражения $4 - \sqrt{20}$.
Из $4 < \sqrt{20} < 5$ следует, что $-5 < -\sqrt{20} < -4$.
Прибавим 4 ко всем частям двойного неравенства: $4 - 5 < 4 - \sqrt{20} < 4 - 4$, то есть $-1 < 4 - \sqrt{20} < 0$.
Значение аргумента $4 - \sqrt{20}$ принадлежит интервалу $(-1; 0)$, который полностью содержится в отрезке $[-1; 1]$.
Проверим это строго:

• $4 - \sqrt{20} \le 1 \implies 3 \le \sqrt{20} \implies 9 \le 20$. Верно.
• $4 - \sqrt{20} \ge -1 \implies 5 \ge \sqrt{20} \implies 25 \ge 20$. Верно.

Так как $-1 \le 4 - \sqrt{20} \le 1$, выражение имеет смысл.
Ответ: имеет смысл.