Номер 21.11, страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

21.11. Постройте и прочитайте график функции:

a) $y = \begin{cases} \frac{\pi x}{2}, & \text{если } x < -1, \\ \arcsin x, & \text{если } -1 \le x \le 1, \\ \frac{\pi}{2}, & \text{если } x > 1. \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} \arcsin x, & \text{если } -1 \le x \le 0, \\ -\arcsin x, & \text{если } 0 < x \le 1, \\ (x - 1)^2 - \frac{\pi}{2}, & \text{если } 1 < x \le 3. \end{cases}$

а) $y = \begin{cases} \frac{\pi x}{2}, & \text{если } x < -1 \\ \arcsin x, & \text{если } -1 \le x \le 1 \\ \frac{\pi}{2}, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

Для построения графика разобьем его на три части в соответствии с условием.
1. При $x < -1$ функция имеет вид $y = \frac{\pi x}{2}$. Это линейная функция, график которой — прямая, проходящая через начало координат. Мы строим ее часть — луч на интервале $(-\infty, -1)$. Угловой коэффициент $k = \frac{\pi}{2} \approx 1.57 > 0$, функция возрастает. На границе интервала, в точке $x=-1$, значение функции стремится к $y = \frac{\pi(-1)}{2} = -\frac{\pi}{2}$. Точка $(-1, -\frac{\pi}{2})$ будет выколотой для этого луча.
2. При $-1 \le x \le 1$ функция имеет вид $y = \arcsin x$. Это график стандартной функции арксинус, который расположен в диапазоне от $x=-1$ до $x=1$. Ключевые точки: $(-1, -\frac{\pi}{2})$, $(0, 0)$, $(1, \frac{\pi}{2})$.
3. При $x > 1$ функция имеет вид $y = \frac{\pi}{2}$. Это константа, ее график — горизонтальный луч, начинающийся от выколотой точки $(1, \frac{\pi}{2})$.
Объединим графики. В точке $x=-1$ первая часть заканчивается в $y = -\frac{\pi}{2}$, а вторая начинается в $y = \arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$. В точке $x=1$ вторая часть заканчивается в $y = \arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$, а третья начинается в $y = \frac{\pi}{2}$. Таким образом, функция является непрерывной на всей числовой оси.

Прочитаем график (перечислим свойства функции):
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = (-\infty; \frac{\pi}{2}]$.
3. Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.
4. Четность/нечетность: функция общего вида. Область определения симметрична, но $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$. Например, $y(2) = \frac{\pi}{2}$, а $y(-2) = -\pi$.
5. Нули функции: $y=0$ при $x=0$, так как $\arcsin(0)=0$.
6. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.
7. Промежутки монотонности: функция строго возрастает на промежутке $(-\infty; 1]$ и постоянна на промежутке $(1; +\infty)$.
8. Экстремумы: локальных экстремумов нет. Глобального минимума нет. Глобальный максимум $y_{max} = \frac{\pi}{2}$ достигается при всех $x \in [1; +\infty)$.

Ответ: Построение графика и его свойства представлены выше. График является непрерывной неубывающей функцией. Область определения — все действительные числа, область значений — $(-\infty, \frac{\pi}{2}]$.

б) $y = \begin{cases} \arcsin x, & \text{если } -1 \le x \le 0 \\ -\arcsin x, & \text{если } 0 < x \le 1 \\ (x-1)^2 - \frac{\pi}{2}, & \text{если } 1 < x \le 3 \end{cases}$

Для построения графика разобьем его на три части в соответствии с условием на отрезке $[-1, 3]$.
1. При $-1 \le x \le 0$ функция имеет вид $y = \arcsin x$. Это часть графика арксинуса от точки $(-1, -\frac{\pi}{2})$ до точки $(0, 0)$.
2. При $0 < x \le 1$ функция имеет вид $y = -\arcsin x$. График этой функции симметричен графику $y = \arcsin x$ относительно оси абсцисс. Это убывающая кривая от выколотой точки $(0, 0)$ до точки $(1, -\frac{\pi}{2})$.
3. При $1 < x \le 3$ функция имеет вид $y = (x-1)^2 - \frac{\pi}{2}$. Это часть параболы, полученной сдвигом графика $y=x^2$ на 1 единицу вправо и на $\frac{\pi}{2}$ единиц вниз. Вершина параболы находится в точке $(1, -\frac{\pi}{2})$. На заданном интервале $(1, 3]$ функция возрастает от выколотой точки $(1, -\frac{\pi}{2})$ до точки $(3, (3-1)^2 - \frac{\pi}{2}) = (3, 4 - \frac{\pi}{2})$.
Объединим графики. В точках "стыка" $x=0$ и $x=1$ разрывов нет, так как значения функций и их пределы совпадают. $y(0) = \arcsin(0) = 0$ и $\lim_{x\to 0^+} (-\arcsin x) = 0$. $y(1) = -\arcsin(1) = -\frac{\pi}{2}$ и $\lim_{x\to 1^+} ((x-1)^2 - \frac{\pi}{2}) = -\frac{\pi}{2}$. Следовательно, функция непрерывна на всей своей области определения.

Прочитаем график (перечислим свойства функции):
1. Область определения: $D(y) = [-1; 3]$.
2. Область значений: $E(y) = [-\frac{\pi}{2}; 4 - \frac{\pi}{2}]$.
3. Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.
4. Четность/нечетность: функция общего вида, так как область определения несимметрична относительно нуля.
5. Нули функции: $y=0$ при $x=0$ (из первой части) и при $(x-1)^2 - \frac{\pi}{2} = 0 \Rightarrow x=1+\sqrt{\frac{\pi}{2}} \approx 2.25$ (из третьей части).
6. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (1+\sqrt{\frac{\pi}{2}}; 3]$; $y < 0$ при $x \in [-1; 0) \cup (0; 1+\sqrt{\frac{\pi}{2}})$.
7. Промежутки монотонности: функция возрастает на отрезках $[-1; 0]$ и $[1; 3]$; убывает на отрезке $[0; 1]$.
8. Экстремумы:
• Точка локального максимума: $x=0$, $y(0)=0$.
• Точка локального минимума: $x=1$, $y(1)=-\frac{\pi}{2}$.
• Глобальный минимум: $y_{min} = -\frac{\pi}{2}$ достигается в точках $x=-1$ и $x=1$.
• Глобальный максимум: $y_{max} = 4 - \frac{\pi}{2}$ достигается в точке $x=3$.

Ответ: Построение графика и его свойства представлены выше. График — непрерывная функция на отрезке $[-1, 3]$. Область значений — $[-\frac{\pi}{2}, 4-\frac{\pi}{2}]$. Функция имеет локальный максимум в $(0, 0)$ и глобальный минимум $y=-\frac{\pi}{2}$ в точках $x=-1$ и $x=1$.