Номер 21.10, страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

21.10. a) $y = \arcsin 2x;$

В) $y = \arcsin \frac{x}{3};$

б) $y = \arcsin \frac{x}{2} + \frac{\pi}{6};$

Г) $y = \arcsin 2(x - 1) + \frac{\pi}{2}.$

а) $y = \arcsin 2x$

Для нахождения области определения функции $y = \arcsin(f(x))$ необходимо решить неравенство $-1 \le f(x) \le 1$. В данном случае $f(x) = 2x$.

Решим двойное неравенство:

$-1 \le 2x \le 1$

Разделим все части неравенства на 2:

$-\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$

Таким образом, область определения функции $D(y) = [-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$.

Область значений стандартной функции $z = \arcsin u$ есть отрезок $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Поскольку в функции $y = \arcsin 2x$ преобразование затрагивает только аргумент, область значений не изменяется.

Таким образом, область значений функции $E(y) = [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Ответ: область определения $D(y) = [-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$; область значений $E(y) = [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

б) $y = \arcsin\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}$

Найдем область определения функции. Аргумент функции арксинус $\frac{x}{2}$ должен удовлетворять условию:

$-1 \le \frac{x}{2} \le 1$

Умножим все части неравенства на 2:

$-2 \le x \le 2$

Следовательно, область определения функции $D(y) = [-2; 2]$.

Найдем область значений функции. Исходная область значений для $\arcsin\frac{x}{2}$ есть отрезок $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

$-\frac{\pi}{2} \le \arcsin\frac{x}{2} \le \frac{\pi}{2}$

К каждой части неравенства прибавим $\frac{\pi}{6}$:

$-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} \le \arcsin\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}$

$-\frac{3\pi}{6} + \frac{\pi}{6} \le y \le \frac{3\pi}{6} + \frac{\pi}{6}$

$-\frac{2\pi}{6} \le y \le \frac{4\pi}{6}$

$-\frac{\pi}{3} \le y \le \frac{2\pi}{3}$

Следовательно, область значений функции $E(y) = [-\frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}]$.

Ответ: область определения $D(y) = [-2; 2]$; область значений $E(y) = [-\frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}]$.

в) $y = \arcsin\frac{x}{3}$

Найдем область определения функции. Аргумент $\frac{x}{3}$ должен находиться в пределах от $-1$ до $1$:

$-1 \le \frac{x}{3} \le 1$

Умножим все части неравенства на 3:

$-3 \le x \le 3$

Таким образом, область определения функции $D(y) = [-3; 3]$.

Найдем область значений функции. Стандартная область значений для функции $z = \arcsin u$ есть отрезок $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Преобразование аргумента $u = \frac{x}{3}$ не изменяет область значений функции арксинус.

Таким образом, область значений функции $E(y) = [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Ответ: область определения $D(y) = [-3; 3]$; область значений $E(y) = [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

г) $y = \arcsin(2(x - 1)) + \frac{\pi}{2}$

Найдем область определения функции. Аргумент $2(x - 1)$ должен удовлетворять условию:

$-1 \le 2(x - 1) \le 1$

Разделим все части неравенства на 2:

$-\frac{1}{2} \le x - 1 \le \frac{1}{2}$

Прибавим 1 ко всем частям неравенства:

$-\frac{1}{2} + 1 \le x \le \frac{1}{2} + 1$

$\frac{1}{2} \le x \le \frac{3}{2}$

Следовательно, область определения функции $D(y) = [\frac{1}{2}; \frac{3}{2}]$.

Найдем область значений функции. Область значений для $z = \arcsin u$ есть отрезок $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. В нашем случае $u = 2(x-1)$, поэтому:

$-\frac{\pi}{2} \le \arcsin(2(x-1)) \le \frac{\pi}{2}$

Теперь прибавим $\frac{\pi}{2}$ ко всем частям двойного неравенства, чтобы найти область значений для $y$:

$-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \le \arcsin(2(x-1)) + \frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}$

$0 \le y \le \pi$

Следовательно, область значений функции $E(y) = [0; \pi]$.

Ответ: область определения $D(y) = [\frac{1}{2}; \frac{3}{2}]$; область значений $E(y) = [0; \pi]$.