Номер 21.6, страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

21.6. Исследуйте функцию на чётность:

а) $y = \frac{\arcsin x}{x^4}$;

б) $y = \sin^2 x + x \arcsin x$;

в) $y = \arcsin x^3 + 3 \cos 2x$;

г) $y = 2 \operatorname{tg} x + x^5 - 3 \arcsin 2x$.

а) $y = \frac{\arcsin x}{x^4}$
Для исследования функции на чётность необходимо сначала найти её область определения $D(y)$ и проверить, является ли она симметричной относительно начала координат. Затем нужно найти значение функции $y(-x)$ и сравнить его с $y(x)$.
1. Область определения.
Функция $\arcsin x$ определена на отрезке $[-1, 1]$.
Знаменатель дроби $x^4$ не должен быть равен нулю, следовательно, $x \neq 0$.
Объединяя эти условия, получаем область определения функции: $D(y) = [-1, 0) \cup (0, 1]$. Эта область является симметричной относительно точки $x=0$.
2. Проверка свойства чётности.
Найдем $y(-x)$:
$y(-x) = \frac{\arcsin(-x)}{(-x)^4}$
Используем свойства функций: арксинус является нечётной функцией, то есть $\arcsin(-x) = -\arcsin x$. Степенная функция с чётным показателем является чётной, то есть $(-x)^4 = x^4$.
Подставим эти выражения в формулу для $y(-x)$:
$y(-x) = \frac{-\arcsin x}{x^4} = - \frac{\arcsin x}{x^4} = -y(x)$
Так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = -y(x)$, функция является нечётной.
Ответ: функция нечётная.

б) $y = \sin^2 x + x \arcsin x$
1. Область определения.
Функция $\sin^2 x$ определена для всех действительных чисел $x$.
Выражение $x \arcsin x$ определено там же, где и $\arcsin x$, то есть на отрезке $[-1, 1]$.
Область определения всей функции $D(y)$ является пересечением областей определения слагаемых, то есть $D(y) = [-1, 1]$. Эта область симметрична относительно начала координат.
2. Проверка свойства чётности.
Найдем $y(-x)$:
$y(-x) = \sin^2(-x) + (-x)\arcsin(-x)$
Рассмотрим каждое слагаемое отдельно:
$\sin^2(-x) = (\sin(-x))^2 = (-\sin x)^2 = \sin^2 x$.
$(-x)\arcsin(-x) = (-x)(-\arcsin x) = x \arcsin x$.
Таким образом,
$y(-x) = \sin^2 x + x \arcsin x = y(x)$.
Так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = y(x)$, функция является чётной.
Ответ: функция чётная.

в) $y = \arcsin x^3 + 3 \cos 2x$
1. Область определения.
Функция $3\cos 2x$ определена для всех действительных чисел $x$.
Функция $\arcsin(x^3)$ определена при условии $-1 \le x^3 \le 1$, что равносильно $-1 \le x \le 1$.
Следовательно, область определения всей функции $D(y) = [-1, 1]$, она симметрична относительно нуля.
2. Проверка свойства чётности.
Найдем $y(-x)$:
$y(-x) = \arcsin((-x)^3) + 3\cos(2(-x))$
Рассмотрим каждое слагаемое:
$\arcsin((-x)^3) = \arcsin(-x^3) = -\arcsin x^3$ (так как $\arcsin$ - нечётная функция).
$3\cos(2(-x)) = 3\cos(-2x) = 3\cos 2x$ (так как $\cos$ - чётная функция).
Получаем:
$y(-x) = -\arcsin x^3 + 3\cos 2x$
Сравним $y(-x)$ с $y(x)$ и $-y(x)$:
$y(x) = \arcsin x^3 + 3\cos 2x$
$-y(x) = -\arcsin x^3 - 3\cos 2x$
Очевидно, что $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$ (кроме случая $x=0$). Функция представляет собой сумму нечётной функции $(\arcsin x^3)$ и чётной функции $(3\cos 2x)$, поэтому она не является ни чётной, ни нечётной.
Ответ: функция не является ни чётной, ни нечётной.

г) $y = 2 \tg x + x^5 - 3 \arcsin 2x$
1. Область определения.
Функция $2\tg x$ определена при $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Функция $x^5$ определена для всех $x \in \mathbb{R}$.
Функция $-3\arcsin 2x$ определена при $-1 \le 2x \le 1$, то есть $-\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$.
Область определения $D(y)$ - это пересечение этих условий. Поскольку отрезок $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ не содержит точек вида $\frac{\pi}{2} + \pi k$, область определения функции равна $D(y) = [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$. Эта область симметрична относительно начала координат.
2. Проверка свойства чётности.
Найдем $y(-x)$:
$y(-x) = 2\tg(-x) + (-x)^5 - 3\arcsin(2(-x))$
Используем свойства нечётности функций $\tg x$, $x^n$ (при нечётном n) и $\arcsin x$:
$\tg(-x) = -\tg x$
$(-x)^5 = -x^5$
$\arcsin(2(-x)) = \arcsin(-2x) = -\arcsin(2x)$
Подставляем в выражение:
$y(-x) = 2(-\tg x) + (-x^5) - 3(-\arcsin(2x)) = -2\tg x - x^5 + 3\arcsin(2x)$
Вынесем знак "-" за скобку:
$y(-x) = -(2\tg x + x^5 - 3\arcsin(2x)) = -y(x)$
Так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = -y(x)$, функция является нечётной. Это также следует из того, что она является алгебраической суммой трёх нечётных функций.
Ответ: функция нечётная.