Номер 21.14, страница 128, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

21.14. а) $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$;

б) $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$;

в) $\arccos(-1)$;

г) $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)$.

а) По определению, арккосинус числа $a$ (обозначается $\arccos(a)$) – это такое число (угол) $\alpha$ из отрезка $[0; \pi]$, что $\cos(\alpha) = a$. Для нахождения арккосинуса отрицательного числа используется формула: $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$. В данном случае $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Применим формулу: $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$. Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$, так как $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и угол $\frac{\pi}{4}$ принадлежит отрезку $[0; \pi]$. Подставляем это значение в выражение: $\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{3\pi}{4}$.

б) Используем ту же формулу для арккосинуса отрицательного числа: $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$. Здесь $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Получаем: $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$, так как $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и угол $\frac{\pi}{6}$ принадлежит отрезку $[0; \pi]$. Выполняем вычитание: $\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{5\pi}{6}$.

в) Нам нужно найти угол $\alpha$ из отрезка $[0; \pi]$, для которого $\cos(\alpha) = -1$. По определению арккосинуса, ищем такой угол. Это табличное значение. Угол, косинус которого равен $-1$, это $\pi$. Этот угол принадлежит отрезку $[0; \pi]$. Следовательно, $\arccos(-1) = \pi$. Можно также было воспользоваться формулой $\arccos(-1) = \pi - \arccos(1) = \pi - 0 = \pi$.
Ответ: $\pi$.

г) Нам нужно найти угол $\alpha$ из отрезка $[0; \pi]$, для которого $\cos(\alpha) = \frac{1}{2}$. Аргумент арккосинуса положительный, поэтому мы ищем значение прямо по таблице основных тригонометрических углов. Известно, что $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$. Поскольку угол $\frac{\pi}{3}$ принадлежит отрезку $[0; \pi]$, то $\arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{\pi}{3}$.