Номер 21.21, страница 129, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

21.21. Найдите область определения функции:

а) $y = \arccos x$;

б) $y = \arccos(x - 1)$;

в) $y = \arccos 2x$;

г) $y = \arccos(3 - 2x)$.

а) $y = \arccos x$
Область определения функции арккосинус — это множество всех значений аргумента, при которых функция имеет смысл. Для функции $y = \arccos(z)$ область определения задается неравенством $-1 \le z \le 1$.
В данном случае аргумент функции равен $x$. Следовательно, для нахождения области определения функции $y = \arccos x$ нужно решить неравенство:
$-1 \le x \le 1$.
Это и есть область определения функции.
Ответ: $D(y) = [-1; 1]$.

б) $y = \arccos(x - 1)$
Аргументом функции арккосинус является выражение $x - 1$. Согласно определению арккосинуса, его аргумент должен находиться в пределах от -1 до 1 включительно.
Составим и решим двойное неравенство:
$-1 \le x - 1 \le 1$.
Чтобы найти $x$, прибавим 1 ко всем частям неравенства:
$-1 + 1 \le x - 1 + 1 \le 1 + 1$.
$0 \le x \le 2$.
Следовательно, область определения функции — это отрезок от 0 до 2.
Ответ: $D(y) = [0; 2]$.

в) $y = \arccos(2x)$
Аргументом функции арккосинус является выражение $2x$. Область определения функции $y = \arccos(z)$ — это отрезок $[-1; 1]$.
Таким образом, должно выполняться условие:
$-1 \le 2x \le 1$.
Разделим все части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знаки неравенства не изменятся:
$\frac{-1}{2} \le \frac{2x}{2} \le \frac{1}{2}$.
$-\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$.
Область определения функции — это отрезок от -0.5 до 0.5.
Ответ: $D(y) = [-0.5; 0.5]$.

г) $y = \arccos(3 - 2x)$
Аргументом функции арккосинус является выражение $3 - 2x$. Это выражение должно принадлежать отрезку $[-1; 1]$.
Составим и решим двойное неравенство:
$-1 \le 3 - 2x \le 1$.
Сначала вычтем 3 из всех частей неравенства:
$-1 - 3 \le 3 - 2x - 3 \le 1 - 3$.
$-4 \le -2x \le -2$.
Теперь разделим все части неравенства на -2. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$\frac{-4}{-2} \ge \frac{-2x}{-2} \ge \frac{-2}{-2}$.
$2 \ge x \ge 1$.
Запишем неравенство в стандартном виде (от меньшего к большему):
$1 \le x \le 2$.
Таким образом, область определения функции — это отрезок от 1 до 2.
Ответ: $D(y) = [1; 2]$.