Номер 21.16, страница 128, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

21.16. a) $ \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right); $

б) $ \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \arcsin(-1); $

в) $ \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right); $

г) $ \arccos\frac{\sqrt{2}}{2} - \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right). $

а) $arccos(-\frac{1}{2}) + arcsin(-\frac{1}{2})$

Для решения этого выражения можно воспользоваться основным тождеством для обратных тригонометрических функций: $arcsin(x) + arccos(x) = \frac{\pi}{2}$. Это тождество справедливо для любого $x$ из отрезка $[-1, 1]$.
В данном случае $x = -\frac{1}{2}$, поэтому значение всего выражения равно $\frac{\pi}{2}$.

Также можно вычислить каждое значение по отдельности:
$arccos(-\frac{1}{2})$ — это угол из промежутка $[0, \pi]$, косинус которого равен $-\frac{1}{2}$. По формуле $arccos(-a) = \pi - arccos(a)$, получаем: $arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - arccos(\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
$arcsin(-\frac{1}{2})$ — это угол из промежутка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $-\frac{1}{2}$. По свойству нечетности арксинуса $arcsin(-a) = -arcsin(a)$, получаем: $arcsin(-\frac{1}{2}) = -arcsin(\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$.
Сложим полученные значения: $\frac{2\pi}{3} + (-\frac{\pi}{6}) = \frac{4\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

б) $arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) - arcsin(-1)$

Вычислим каждое значение по отдельности.
$arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2})$ — это угол из промежутка $[0, \pi]$, косинус которого равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
$arcsin(-1)$ — это угол из промежутка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $-1$.
$arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$.
Теперь выполним вычитание: $\frac{3\pi}{4} - (-\frac{\pi}{2}) = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4} + \frac{2\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{5\pi}{4}$.

в) $arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2})$

Как и в пункте а), используем тождество $arcsin(x) + arccos(x) = \frac{\pi}{2}$.
В данном случае $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, что входит в область определения $[-1, 1]$.
Следовательно, $arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{2}$.

Проверка по частям:
$arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
$arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$.
Сумма: $\frac{5\pi}{6} + (-\frac{\pi}{3}) = \frac{5\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

г) $arccos\frac{\sqrt{2}}{2} - arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2})$

Вычислим каждое значение по отдельности.
$arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})$ — это угол из промежутка $[0, \pi]$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.
$arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2})$ — это угол из промежутка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$.
Теперь выполним вычитание: $\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{12} + \frac{4\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}$.

Ответ: $\frac{7\pi}{12}$.