Номер 21.19, страница 129, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

21.19. a) $ \sin \left(2 \arcsin \frac{1}{2} - 3 \arccos \left(-\frac{1}{2}\right)\right); $

б) $ \cos \left(\frac{1}{2} \arcsin 1 + \arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right); $

в) $ \operatorname{tg} \left(\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \arccos \frac{\sqrt{2}}{2}\right); $

г) $ \operatorname{ctg} \left(3 \arccos (-1) - \arcsin \left(-\frac{1}{2}\right)\right). $

а) Чтобы вычислить значение выражения $ \sin\left(2 \arcsin\frac{1}{2} - 3 \arccos\left(-\frac{1}{2}\right)\right) $, сначала найдем значения обратных тригонометрических функций.
По определению, $ \arcsin\frac{1}{2} $ — это угол из промежутка $ \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $, синус которого равен $ \frac{1}{2} $. Этот угол равен $ \frac{\pi}{6} $.
Также по определению, $ \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) $ — это угол из промежутка $ [0, \pi] $, косинус которого равен $ -\frac{1}{2} $. Этот угол равен $ \frac{2\pi}{3} $.
Теперь подставим эти значения в исходное выражение:
$ \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{6} - 3 \cdot \frac{2\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3} - 2\pi\right) $.
Синус является периодической функцией с периодом $ 2\pi $, поэтому $ \sin(\alpha - 2\pi) = \sin(\alpha) $.
Следовательно, $ \sin\left(\frac{\pi}{3} - 2\pi\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2} $

б) Рассмотрим выражение $ \cos\left(\frac{1}{2} \arcsin 1 + \arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right) $.
Найдем значения арксинусов:
$ \arcsin 1 = \frac{\pi}{2} $, так как $ \sin\frac{\pi}{2} = 1 $ и $ \frac{\pi}{2} \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $.
$ \arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\pi}{4} $, так как $ \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ -\frac{\pi}{4} \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $.
Подставим значения в выражение:
$ \cos\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} + \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}\right) = \cos(0) $.
Значение косинуса нуля равно 1.
$ \cos(0) = 1 $.
Ответ: $ 1 $

в) Вычислим $ \text{tg}\left(\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \arccos\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $.
Найдем значения обратных тригонометрических функций:
$ \arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} $, так как $ \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \frac{\pi}{3} \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $.
$ \arccos\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4} $, так как $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \frac{\pi}{4} \in [0, \pi] $.
Подставляем значения в выражение:
$ \text{tg}\left(\frac{\pi}{3} + 2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = \text{tg}\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2}\right) $.
Приведем дроби к общему знаменателю: $ \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{6} + \frac{3\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $.
Вычислим тангенс полученного угла:
$ \text{tg}\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \text{tg}\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = -\text{tg}\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3} $.
Ответ: $ -\frac{\sqrt{3}}{3} $

г) Рассмотрим выражение $ \text{ctg}\left(3 \arccos(-1) - \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)\right) $.
Найдем значения обратных тригонометрических функций:
$ \arccos(-1) = \pi $, так как $ \cos(\pi) = -1 $ и $ \pi \in [0, \pi] $.
$ \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6} $, так как $ \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2} $ и $ -\frac{\pi}{6} \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $.
Подставляем значения в выражение:
$ \text{ctg}\left(3 \cdot \pi - \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right) = \text{ctg}\left(3\pi + \frac{\pi}{6}\right) $.
Котангенс является периодической функцией с периодом $ \pi $, поэтому $ \text{ctg}(\alpha + k\pi) = \text{ctg}(\alpha) $ для любого целого $ k $.
Следовательно, $ \text{ctg}\left(3\pi + \frac{\pi}{6}\right) = \text{ctg}\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3} $.
Ответ: $ \sqrt{3} $