Страница 121, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

19.6. Подберите коэффициенты $a$, $b$ и $c$ так, чтобы на данном рисунке был изображён график функции $y = a \cos (bx + c)$:

а) рис. 62;

б) рис. 63.

Рис. 62

Рис. 63

Проанализируем график функции $y = a \cos(bx + c)$, изображенный на рисунке 62.

1. Нахождение амплитуды $a$. Амплитуда $|a|$ равна половине разности между максимальным и минимальным значениями функции. Из графика видно, что максимальное значение $y_{max} = 2$, а минимальное $y_{min} = -2$.
$|a| = \frac{y_{max} - y_{min}}{2} = \frac{2 - (-2)}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

2. Нахождение коэффициента $b$. Этот коэффициент связан с периодом функции $T$ формулой $T = \frac{2\pi}{|b|}$. На графике можно увидеть, что функция достигает минимума в точке $x = 0$ и следующий минимум находится в точке $x = \frac{4\pi}{3}$. Следовательно, период функции равен $T = \frac{4\pi}{3} - 0 = \frac{4\pi}{3}$.
Для удобства будем считать, что $b > 0$. Тогда $b = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4\pi/3} = \frac{6\pi}{4\pi} = \frac{3}{2}$.

3. Нахождение коэффициента $c$. Теперь функция имеет вид $y = a \cos(\frac{3}{2}x + c)$. Выберем $a=2$. Тогда $y = 2 \cos(\frac{3}{2}x + c)$. Стандартная функция $y = \cos(t)$ достигает своего минимума, равного -1, когда ее аргумент $t = \pi + 2k\pi$ для любого целого $k$. Наш график имеет минимум при $x=0$. Подставим это значение в аргумент функции:
$ \frac{3}{2} \cdot 0 + c = \pi + 2k\pi $.
Для нахождения простейшего значения $c$ положим $k=0$, откуда получаем $c = \pi$.
Таким образом, одна из возможных формул для функции: $y = 2\cos(\frac{3}{2}x + \pi)$.

Проверим: при $x=0$, $y=2\cos(\pi) = -2$. При $x=\frac{2\pi}{3}$, $y=2\cos(\frac{3}{2}\frac{2\pi}{3} + \pi) = 2\cos(2\pi) = 2$. Это соответствует точкам минимума и максимума на графике.

Ответ: $a=2, b=\frac{3}{2}, c=\pi$.

Проанализируем график функции $y = a \cos(bx + c)$, изображенный на рисунке 63.

1. Нахождение амплитуды $a$. Из графика видно, что максимальное значение $y_{max} = 3$, а минимальное $y_{min} = -3$.
$|a| = \frac{y_{max} - y_{min}}{2} = \frac{3 - (-3)}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

2. Нахождение коэффициента $b$. Период $T$ можно найти как расстояние между двумя последовательными максимумами. Один максимум находится в точке $x = -\frac{\pi}{3}$, а следующий — в точке $x = \pi$.
$T = \pi - (-\frac{\pi}{3}) = \frac{4\pi}{3}$.
Считая $b > 0$, получаем: $b = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4\pi/3} = \frac{3}{2}$.

3. Нахождение коэффициента $c$. Функция имеет вид $y = a \cos(\frac{3}{2}x + c)$. Выберем $a=3$. Тогда $y = 3\cos(\frac{3}{2}x + c)$. Стандартная функция $y = \cos(t)$ достигает своего максимума, равного 1, когда ее аргумент $t = 2k\pi$ для любого целого $k$. Наш график имеет максимум при $x = -\frac{\pi}{3}$. Подставим это значение:
$ \frac{3}{2} \cdot (-\frac{\pi}{3}) + c = 2k\pi $
$ -\frac{\pi}{2} + c = 2k\pi $.
Для нахождения простейшего значения $c$ положим $k=0$, откуда $c = \frac{\pi}{2}$.
Таким образом, искомая функция: $y = 3\cos(\frac{3}{2}x + \frac{\pi}{2})$.

Проверим: при $x=-\frac{\pi}{3}$, $y=3\cos(\frac{3}{2}(-\frac{\pi}{3}) + \frac{\pi}{2}) = 3\cos(-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}) = 3\cos(0) = 3$. При $x=\frac{\pi}{3}$, $y=3\cos(\frac{3}{2}\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2}) = 3\cos(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}) = 3\cos(\pi) = -3$. Это соответствует точкам максимума и минимума на графике.

Ответ: $a=3, b=\frac{3}{2}, c=\frac{\pi}{2}$.