Страница 118, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

18.10. Составьте возможную аналитическую запись функции по её графику, изображённому:

а) на рис. 56;

б) на рис. 57;

в) на рис. 58;

г) на рис. 59.

Рис. 56

y

x

O

1

-1

$\frac{\pi}{2}$

Рис. 57

y

x

O

1

-1

$-\frac{\pi}{6}$

$\frac{\pi}{6}$

$\frac{\pi}{3}$

$\frac{\pi}{2}$

Рис. 58

y

x

O

2

1

-1

-2

$-\pi$

$-\frac{\pi}{2}$

$\frac{\pi}{2}$

$\pi$

$\frac{3\pi}{2}$

Рис. 59

y

x

O

2

1

-1

-2

$-2\pi$

$-\pi$

$\pi$

$2\pi$

$3\pi$

а) на рис. 56

График функции является синусоидой. Для определения её аналитической записи найдём её параметры: амплитуду, период, фазовый и вертикальный сдвиги.
1. Амплитуда и вертикальный сдвиг. Максимальное значение функции $y_{max} = 1$, а минимальное $y_{min} = -1$. Средняя линия графика — это ось абсцисс $y=0$, следовательно, вертикальный сдвиг $D = \frac{y_{max} + y_{min}}{2} = \frac{1 + (-1)}{2} = 0$. Амплитуда колебаний $A = \frac{y_{max} - y_{min}}{2} = \frac{1 - (-1)}{2} = 1$.
2. Период и угловая частота. Из графика видно, что один полный цикл колебаний завершается на отрезке от $x=0$ до $x=\pi$. Таким образом, период функции $T = \pi$. Угловая частота $k$ определяется по формуле $k = \frac{2\pi}{T}$, откуда $k = \frac{2\pi}{\pi} = 2$.
3. Фазовый сдвиг. Функция может быть описана формулой вида $y = A \sin(k(x - x_0)) + D$. В точке $x=0$ значение функции равно 0, и функция возрастает. Такое поведение соответствует стандартной функции синуса $y = \sin(u)$ в точке $u=0$. Это означает, что фазовый сдвиг отсутствует, т.е. $x_0 = 0$.
4. Итоговая формула. Подставляя найденные значения $A=1$, $k=2$, $x_0=0$ и $D=0$, получаем аналитическую запись функции: $y = 1 \cdot \sin(2(x - 0)) + 0$.

Ответ: $y = \sin(2x)$

б) на рис. 57

График функции является синусоидой.
1. Амплитуда и вертикальный сдвиг. Максимальное значение функции $y_{max} = 1$, минимальное $y_{min} = -1$. Средняя линия — ось абсцисс $y=0$, поэтому вертикальный сдвиг $D=0$. Амплитуда $A = \frac{1 - (-1)}{2} = 1$.
2. Период и угловая частота. График пересекает ось абсцисс в точках $x = -\frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{\pi}{6}$. Между этими точками проходит половина периода. Следовательно, $T/2 = \frac{\pi}{6} - (-\frac{\pi}{6}) = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$. Полный период $T = 2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$. Угловая частота $k = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2\pi/3} = 3$.
3. Фазовый сдвиг. Удобно представить функцию в виде $y = A \cos(k(x - x_0)) + D$. В точке $x=0$ функция достигает своего максимума, что совпадает с поведением стандартной функции косинуса $y = \cos(u)$ в точке $u=0$. Таким образом, фазовый сдвиг равен нулю, $x_0 = 0$.
4. Итоговая формула. Подставляя найденные значения $A=1$, $k=3$, $x_0=0$ и $D=0$, получаем: $y = 1 \cdot \cos(3(x - 0)) + 0$.

Ответ: $y = \cos(3x)$

в) на рис. 58

График функции является синусоидой.
1. Амплитуда и вертикальный сдвиг. Максимальное значение функции $y_{max} = 2$, минимальное $y_{min} = -2$. Средняя линия — ось абсцисс $y=0$, поэтому вертикальный сдвиг $D=0$. Амплитуда $A = \frac{2 - (-2)}{2} = 2$.
2. Период и угловая частота. Максимум функции находится в точке $x = -\frac{\pi}{2}$, а следующий за ним минимум — в точке $x = \frac{\pi}{2}$. Расстояние по оси $x$ между соседними максимумом и минимумом составляет половину периода. Таким образом, $T/2 = \frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2}) = \pi$. Полный период $T = 2\pi$. Угловая частота $k = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2\pi} = 1$.
3. Фазовый сдвиг и вид функции. Можно использовать формулу $y = A \sin(k(x - x_0)) + D$. В точке $x=0$ функция равна нулю и убывает, что соответствует поведению функции $-A\sin(kx)$. Поэтому можно записать функцию как $y = -2\sin(x)$, где фазовый сдвиг $x_0=0$.
4. Итоговая формула. Проверим полученную формулу $y = -2\sin(x)$. При $x=-\pi/2$, $y = -2\sin(-\pi/2) = -2(-1) = 2$ (максимум). При $x=\pi/2$, $y = -2\sin(\pi/2) = -2(1) = -2$ (минимум). При $x=0$, $y=-2\sin(0)=0$. Все сходится с графиком.

Ответ: $y = -2\sin(x)$

г) на рис. 59

График представляет собой колебательный процесс, у которого средняя линия не является горизонтальной. Это может быть описано как сумма линейной функции и гармонического колебания: $y(x) = (mx+b) + A \cos(k(x - x_0))$.
1. Средняя линия. Найдём уравнение прямой $y=mx+b$, проходящей через середины отрезков, соединяющих последовательные экстремумы. На графике видны экстремумы в точках $(-3\pi, -2)$, $(-\pi, 2)$, $(\pi, -1)$.
- Середина отрезка между минимумом $(-3\pi, -2)$ и максимумом $(-\pi, 2)$ находится в точке $(\frac{-3\pi-\pi}{2}, \frac{-2+2}{2}) = (-2\pi, 0)$.
- Середина отрезка между максимумом $(-\pi, 2)$ и минимумом $(\pi, -1)$ находится в точке $(\frac{-\pi+\pi}{2}, \frac{2-1}{2}) = (0, 1/2)$.
Прямая проходит через точки $(-2\pi, 0)$ и $(0, 1/2)$. Её угловой коэффициент $m = \frac{1/2 - 0}{0 - (-2\pi)} = \frac{1}{4\pi}$. Точка пересечения с осью $y$ дает $b=1/2$. Таким образом, средняя линия задаётся уравнением $D(x) = \frac{x}{4\pi} + \frac{1}{2}$.
2. Амплитуда. Амплитуда — это максимальное отклонение от средней линии. В точке максимума $x=-\pi$: $A = y(-\pi) - D(-\pi) = 2 - (\frac{-\pi}{4\pi} + \frac{1}{2}) = 2 - (-\frac{1}{4} + \frac{1}{2}) = 2 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$. Проверим в точке минимума $x=\pi$: $|y(\pi) - D(\pi)| = |-1 - (\frac{\pi}{4\pi} + \frac{1}{2})| = |-1 - \frac{3}{4}| = |-\frac{7}{4}| = \frac{7}{4}$. Амплитуда постоянна: $A=7/4$.
3. Период и угловая частота. Расстояние по оси $x$ между двумя последовательными минимумами в $x=-3\pi$ и $x=\pi$ равно периоду: $T = \pi - (-3\pi) = 4\pi$. Угловая частота $k = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4\pi} = \frac{1}{2}$.
4. Фазовый сдвиг и итоговая формула. Ищем функцию в виде $y(x) = \frac{x}{4\pi} + \frac{1}{2} + \frac{7}{4}\cos(\frac{1}{2}(x - x_0))$. Максимум колебания (и всей функции) достигается при $x=-\pi$. Для функции косинуса это означает, что её аргумент равен $2\pi n$ (для $n=0$). Отсюда $\frac{1}{2}(-\pi - x_0) = 0$, что дает $x_0 = -\pi$.
Таким образом, итоговая формула: $y = \frac{x}{4\pi} + \frac{1}{2} + \frac{7}{4}\cos(\frac{1}{2}(x-(-\pi)))$.

Ответ: $y = \frac{x}{4\pi} + \frac{1}{2} + \frac{7}{4}\cos\left(\frac{x+\pi}{2}\right)$