Номер 18.13, страница 119, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

18.13. На каких промежутках функция $y = -0,5 \sin \frac{2x}{3}$:

а) возрастает;

б) убывает?

Чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции $y = -0,5 \sin\frac{2x}{3}$, мы воспользуемся ее производной. Функция возрастает, когда ее производная неотрицательна ($y' \ge 0$), и убывает, когда ее производная неположительна ($y' \le 0$).

Сначала найдем производную функции $y(x)$:

$y' = \left(-0,5 \sin\frac{2x}{3}\right)'$

Применяя правило дифференцирования сложной функции, получаем:

$y' = -0,5 \cdot \cos\left(\frac{2x}{3}\right) \cdot \left(\frac{2x}{3}\right)' = -0,5 \cdot \cos\left(\frac{2x}{3}\right) \cdot \frac{2}{3} = -\frac{1}{3}\cos\left(\frac{2x}{3}\right)$

Функция возрастает при условии $y' \ge 0$.

$-\frac{1}{3}\cos\left(\frac{2x}{3}\right) \ge 0$

Умножим обе части неравенства на -3, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$\cos\left(\frac{2x}{3}\right) \le 0$

Косинус является неположительным во второй и третьей четвертях единичной окружности. Это соответствует следующему неравенству для аргумента косинуса:

$\frac{\pi}{2} + 2\pi n \le \frac{2x}{3} \le \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $x$, умножим все части неравенства на $\frac{3}{2}$:

$\frac{3}{2} \cdot \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right) \le x \le \frac{3}{2} \cdot \left(\frac{3\pi}{2} + 2\pi n\right)$

$\frac{3\pi}{4} + 3\pi n \le x \le \frac{9\pi}{4} + 3\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, функция возрастает на промежутках вида $\left[\frac{3\pi}{4} + 3\pi n, \frac{9\pi}{4} + 3\pi n\right]$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $\left[\frac{3\pi}{4} + 3\pi n, \frac{9\pi}{4} + 3\pi n\right], n \in \mathbb{Z}$.

Функция убывает при условии $y' \le 0$.

$-\frac{1}{3}\cos\left(\frac{2x}{3}\right) \le 0$

Умножим обе части неравенства на -3, изменив знак неравенства:

$\cos\left(\frac{2x}{3}\right) \ge 0$

Косинус является неотрицательным в первой и четвертой четвертях единичной окружности. Это соответствует неравенству:

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n \le \frac{2x}{3} \le \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $x$, умножим все части неравенства на $\frac{3}{2}$:

$\frac{3}{2} \cdot \left(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right) \le x \le \frac{3}{2} \cdot \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right)$

$-\frac{3\pi}{4} + 3\pi n \le x \le \frac{3\pi}{4} + 3\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, функция убывает на промежутках вида $\left[-\frac{3\pi}{4} + 3\pi n, \frac{3\pi}{4} + 3\pi n\right]$.

Ответ: функция убывает на промежутках $\left[-\frac{3\pi}{4} + 3\pi n, \frac{3\pi}{4} + 3\pi n\right], n \in \mathbb{Z}$.