Номер 18.8, страница 117, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Постройте и прочитайте график функции:

18.8. a) $y = \begin{cases} \cos 2x, \text{ если } x \le \pi, \\ -\frac{1}{2}, \text{ если } x > \pi; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} -\sin 3x, \text{ если } x < 0, \\ \sqrt{x}, \text{ если } x \ge 0. \end{cases}$

а) $y = \begin{cases} \cos 2x, & \text{если } x \le \pi, \\ -\frac{1}{2}, & \text{если } x > \pi \end{cases}$

Построение графика:

График этой функции состоит из двух частей.

1. При $x \le \pi$ строим график функции $y = \cos 2x$. Это косинусоида, сжатая в 2 раза по оси Ox. Её период $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$. Амплитуда равна 1. Ключевые точки на отрезке $[0, \pi]$: $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{4}, 0)$, $(\frac{\pi}{2}, -1)$, $(\frac{3\pi}{4}, 0)$, $(\pi, 1)$. Этот узор повторяется для всех $x < 0$. В точке $x=\pi$ значение функции равно $y(\pi) = \cos(2\pi) = 1$, поэтому точка $(\pi, 1)$ принадлежит графику (закрашенная точка).
2. При $x > \pi$ строим график функции $y = -\frac{1}{2}$. Это горизонтальная прямая (луч), начинающаяся от точки $x=\pi$ и идущая вправо. В самой точке $x=\pi$ значение этой части не определено, поэтому на графике в точке $(\pi, -\frac{1}{2})$ будет выколотая точка.

В точке $x=\pi$ функция имеет разрыв (скачок) от значения 1 до значения $-1/2$.

Чтение графика (свойства функции):

• Область определения: Функция определена для всех действительных чисел.
  $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
• Область значений: Для $x \le \pi$ значения лежат в отрезке $[-1, 1]$. Для $x > \pi$ значение равно $-\frac{1}{2}$, что уже входит в отрезок $[-1, 1]$.
  $E(y) = [-1, 1]$.
• Четность/нечетность: Функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида), так как ее график не симметричен ни относительно оси Oy, ни относительно начала координат. Например, $f(2\pi) = -1/2$, а $f(-2\pi) = \cos(-4\pi) = 1$.
• Нули функции ($y=0$): Нули могут быть только на участке $x \le \pi$, где $y = \cos 2x$.
  $\cos 2x = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
  $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$.
  Условию $x \le \pi$ удовлетворяют все $k \le 1$.
  Нули функции: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}, k \le 1$.
• Промежутки знакопостоянства:
  $y > 0$ при $x \in \bigcup_{n=-\infty}^{0} \left(-\frac{\pi}{4} + \pi n, \frac{\pi}{4} + \pi n\right) \cup \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right]$.
  $y < 0$ при $x \in \bigcup_{n=-\infty}^{0} \left(\frac{\pi}{4} + \pi n, \frac{3\pi}{4} + \pi n\right) \cup (\pi, +\infty)$.
• Промежутки монотонности:
  Функция возрастает на каждом из промежутков $[\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi + \pi n]$ при $n \in \mathbb{Z}, n \le -1$, и на $[\frac{\pi}{2}, \pi]$.
  Функция убывает на каждом из промежутков $[\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n]$ при $n \in \mathbb{Z}, n \le 0$.
  Функция постоянна на промежутке $(\pi, +\infty)$.
• Экстремумы:
  Точки максимума: $x = \pi n$ при $n \in \mathbb{Z}, n \le 1$. $y_{max} = 1$.
  Точки минимума: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ при $n \in \mathbb{Z}, n \le 0$. $y_{min} = -1$.
• Непрерывность: Функция непрерывна на интервалах $(-\infty, \pi)$ и $(\pi, +\infty)$. В точке $x=\pi$ она терпит разрыв первого рода (скачок), так как $\lim_{x\to\pi^-} f(x) = 1$, а $\lim_{x\to\pi^+} f(x) = -1/2$.

Ответ: График функции представляет собой косинусоиду $y = \cos(2x)$ на промежутке $(-\infty, \pi]$ и горизонтальный луч $y = -1/2$ на промежутке $(\pi, +\infty)$. Основные свойства функции: $D(y) = (-\infty, +\infty)$, $E(y) = [-1, 1]$, нули $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$ для $k \le 1$, функция общего вида, имеет разрыв первого рода в точке $x=\pi$. Точки максимума $x = n\pi$ ($n \le 1$) со значением 1, точки минимума $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$ ($n \le 0$) со значением -1.

б) $y = \begin{cases} -\sin 3x, & \text{если } x < 0, \\ \sqrt{x}, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Построение графика:

График этой функции также состоит из двух частей, которые "сшиваются" в точке $x=0$.

1. При $x < 0$ строим график функции $y = -\sin 3x$. Это синусоида, отраженная относительно оси Ox и сжатая в 3 раза по той же оси. Её период $T = \frac{2\pi}{3}$. Амплитуда равна 1. График представляет собой волну в левой полуплоскости, которая при $x \to 0^-$ стремится к $y = -\sin(0) = 0$.
2. При $x \ge 0$ строим график функции $y = \sqrt{x}$. Это стандартная ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox. График начинается в точке $(0, 0)$ и плавно возрастает вправо. Ключевые точки: $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(4, 2)$.

Поскольку $\lim_{x\to 0^-} (-\sin 3x) = 0$ и $y(0) = \sqrt{0} = 0$, обе части графика соединяются в начале координат, и функция является непрерывной.

Чтение графика (свойства функции):

• Область определения: Функция определена для всех действительных чисел.
  $D(y) = (-\infty, +\infty)$.
• Область значений: Для $x < 0$ значения $y = -\sin 3x$ лежат в отрезке $[-1, 1]$. Для $x \ge 0$ значения $y = \sqrt{x}$ лежат в промежутке $[0, +\infty)$. Объединяя эти два множества, получаем область значений.
  $E(y) = [-1, +\infty)$.
• Четность/нечетность: Функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида). Например, $f(1) = 1$, а $f(-1) = -\sin(-3) = \sin 3 \ne \pm 1$.
• Нули функции ($y=0$):
  При $x < 0$: $-\sin 3x = 0 \implies 3x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Так как $x < 0$, то $k$ - отрицательное целое число. $x = \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}, k < 0$.
  При $x \ge 0$: $\sqrt{x} = 0 \implies x = 0$.
  Нули функции: $x=0$ и $x = \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}, k < 0$.
• Промежутки знакопостоянства:
  $y > 0$ при $x \in \bigcup_{n=-\infty}^{-1} \left(-\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}, \frac{2\pi n}{3}\right) \cup (0, +\infty)$.
  $y < 0$ при $x \in \bigcup_{n=-\infty}^{-1} \left(-\frac{2\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}, -\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3}\right)$.
• Промежутки монотонности:
  Функция возрастает на промежутке $[0, +\infty)$, а также на каждом из промежутков вида $[-\frac{\pi}{2} + \frac{2\pi k}{3}, -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}]$ при $k \in \mathbb{Z}, k \le 0$.
  Функция убывает на каждом из промежутков вида $[-\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}, -\frac{\pi}{2} + \frac{2\pi (k-1)}{3}]$... нет, проще так: $[-\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}, \frac{2\pi k}{3}]$ при $k \le 0$ (до 0 не включая) и на $[-\frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{2}]$ и т.д. Более строго: на каждом из промежутков $[-\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3}, -\frac{\pi}{2}+\frac{2k\pi}{3}]$ при $k \in \mathbb{Z}, k \le 0$.
• Экстремумы:
  Точки максимума: $x = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}$ при $k \in \mathbb{Z}, k \le 0$. $y_{max} = 1$.
  Точки минимума: $x = -\frac{\pi}{2} + \frac{2\pi k}{3}$ при $k \in \mathbb{Z}, k \le 0$. $y_{min} = -1$.
  Точка $x=0$ является точкой локального минимума, $y(0)=0$.
• Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения $(-\infty, +\infty)$.

Ответ: График функции представляет собой кривую $y = -\sin(3x)$ в левой полуплоскости ($x<0$) и ветвь параболы $y=\sqrt{x}$ в правой полуплоскости ($x \ge 0$). Функция непрерывна на всей числовой оси. Основные свойства функции: $D(y) = (-\infty, +\infty)$, $E(y) = [-1, +\infty)$, нули $x = 0$ и $x = \frac{\pi k}{3}$ для $k < 0$, функция общего вида. Глобального максимума нет, локальные максимумы $y=1$ в точках $x = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}, k \le 0$. Глобальный минимум $y=-1$ в точках $x = -\frac{\pi}{2} + \frac{2\pi k}{3}, k \le 0$.