Номер 18.5, страница 117, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

18.5. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции

$y = \sin 2x$:

a) на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; 0];$

б) на интервале $(-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2});$

в) на отрезке $[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}];$

г) на полуинтервале $(0; \pi].$

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = \sin(2x)$ на заданных промежутках, мы будем использовать производную. Общий алгоритм следующий:
1. Найти производную функции $y'$.
2. Найти критические точки, решив уравнение $y' = 0$.
3. Выбрать критические точки, которые принадлежат заданному промежутку.
4. Вычислить значения функции в этих критических точках и на концах промежутка (если они включены).
5. Сравнить полученные значения и выбрать из них наименьшее и наибольшее.

Производная функции $y = \sin(2x)$ равна: $y' = (\sin(2x))' = \cos(2x) \cdot (2x)' = 2\cos(2x)$.

Найдем критические точки из уравнения $y' = 0$:
$2\cos(2x) = 0$
$\cos(2x) = 0$
$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

а) на отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}; 0\right]$

1. Найдем критические точки, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{\pi}{2}; 0\right]$.
При $k=0$, $x = \frac{\pi}{4}$. Эта точка не принадлежит отрезку.
При $k=-1$, $x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{4}$. Эта точка принадлежит отрезку $\left[-\frac{\pi}{2}; 0\right]$.
При $k=-2$, $x = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4}$. Эта точка не принадлежит отрезку.
Таким образом, на данном отрезке есть одна критическая точка: $x = -\frac{\pi}{4}$.

2. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:
$y\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(2 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$.
$y\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(2 \cdot \left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) = \sin(-\pi) = 0$.
$y(0) = \sin(2 \cdot 0) = \sin(0) = 0$.

3. Сравнивая значения $\{-1, 0, 0\}$, находим, что наименьшее значение функции равно -1, а наибольшее равно 0.

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = -1$, наибольшее значение $y_{max} = 0$.

б) на интервале $\left(-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}\right)$

1. Найдем критические точки, принадлежащие интервалу $\left(-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}\right)$.
При $k=0$, $x = \frac{\pi}{4}$. Эта точка принадлежит интервалу $\left(-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}\right)$.
При $k=-1$, $x = -\frac{\pi}{4}$. Эта точка не принадлежит интервалу (является его границей).
При $k=1$, $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4}$. Эта точка не принадлежит интервалу.
Таким образом, на данном интервале есть одна критическая точка: $x = \frac{\pi}{4}$.

2. Вычислим значение функции в этой точке:
$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$.

3. Поскольку интервал открытый, мы должны исследовать поведение функции на его границах:
При $x \to -\frac{\pi}{4}^+$, $y \to \sin\left(2 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$.
При $x \to \frac{\pi}{2}^-$, $y \to \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right) = \sin(\pi) = 0$.

4. Значение функции в критической точке $y=1$ является максимальным значением функции синус, поэтому это наибольшее значение на интервале. Функция стремится к -1, но никогда не достигает этого значения, так как точка $x = -\frac{\pi}{4}$ не входит в интервал. Следовательно, наименьшего значения функция не имеет.

Ответ: наибольшее значение $y_{max} = 1$, наименьшего значения не существует.

в) на отрезке $\left[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}\right]$

1. Найдем критические точки, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}\right]$.
Критические точки $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$.
При $k=0$, $x = \frac{\pi}{4}$.
При $k=-1$, $x = -\frac{\pi}{4}$.
Обе эти точки являются концами данного отрезка. Внутри отрезка критических точек нет.

2. Для нахождения наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции на отрезке достаточно вычислить ее значения на концах отрезка.
$y\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(2 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$.
$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$.

3. Сравнивая значения $\{-1, 1\}$, находим, что наименьшее значение равно -1, а наибольшее равно 1.

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = -1$, наибольшее значение $y_{max} = 1$.

г) на полуинтервале $(0; \pi]$

1. Найдем критические точки, принадлежащие полуинтервалу $(0; \pi]$.
При $k=0$, $x = \frac{\pi}{4}$. Эта точка принадлежит полуинтервалу.
При $k=1$, $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4}$. Эта точка принадлежит полуинтервалу.
При $k=2$, $x = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$. Эта точка не принадлежит полуинтервалу.
Таким образом, на данном полуинтервале есть две критические точки: $x = \frac{\pi}{4}$ и $x = \frac{3\pi}{4}$.

2. Вычислим значения функции в критических точках и на правом (включенном) конце полуинтервала:
$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$.
$y\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \sin\left(2 \cdot \frac{3\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1$.
$y(\pi) = \sin(2 \cdot \pi) = \sin(2\pi) = 0$.

3. Рассмотрим поведение функции на левой (исключенной) границе:
При $x \to 0^+$, $y \to \sin(2 \cdot 0) = \sin(0) = 0$.

4. Сравнивая значения, которые функция принимает на полуинтервале $\{1, -1, 0\}$, находим, что наименьшее значение равно -1, а наибольшее равно 1.

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = -1$, наибольшее значение $y_{max} = 1$.