Номер 17.16, страница 116, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

•17.16. Решите неравенство:

a) $2 \cos x < 2 + x^4$;

б) $-2 \sin x > \frac{9}{\pi^2}\left(x + \frac{\pi}{2}\right)^2$.

а)

Рассмотрим неравенство $2 \cos x < 2 + x^4$.

Этот тип неравенства, содержащий тригонометрическую и степенную функции, удобно решать методом оценки. Оценим левую и правую части неравенства.

1. Левая часть: $f(x) = 2 \cos x$.
Поскольку область значений функции косинуса [$-1, 1$], то есть $-1 \le \cos x \le 1$ для любого $x$, то для левой части имеем: $-2 \le 2 \cos x \le 2$. Максимальное значение левой части равно 2. Это значение достигается при $\cos x = 1$, то есть при $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Правая часть: $g(x) = 2 + x^4$.
Поскольку $x^4 \ge 0$ для любого действительного $x$, то для правой части имеем: $2 + x^4 \ge 2 + 0 = 2$. Минимальное значение правой части равно 2. Это значение достигается при $x^4 = 0$, то есть при $x = 0$.

3. Сравнение.
Мы имеем $2 \cos x \le 2$ и $2 + x^4 \ge 2$.
Рассмотрим случай, когда может выполняться равенство $2 \cos x = 2 + x^4$. Это возможно только в том случае, если обе части одновременно равны 2. $2 \cos x = 2 \implies \cos x = 1 \implies x = 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
$2 + x^4 = 2 \implies x^4 = 0 \implies x = 0$.
Единственное значение $x$, удовлетворяющее обоим условиям, — это $x=0$ (при $k=0$). Таким образом, равенство $2 \cos x = 2 + x^4$ достигается только при $x=0$.

4. Решение неравенства.
Исходное неравенство является строгим: $2 \cos x < 2 + x^4$. Поскольку при $x=0$ левая и правая части равны, точка $x=0$ не является решением неравенства.

Для любого $x \neq 0$:

• Левая часть: $2 \cos x \le 2$.
• Правая часть: $x \neq 0 \implies x^4 > 0 \implies 2 + x^4 > 2$.

Таким образом, для любого $x \neq 0$ мы имеем $2 \cos x \le 2 < 2 + x^4$, что означает, что неравенство $2 \cos x < 2 + x^4$ выполняется для всех $x$, кроме $x=0$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, \infty)$.

б)

Рассмотрим неравенство $-2 \sin x > \frac{9}{\pi^2} \left(x + \frac{\pi}{2}\right)^2$.

Преобразуем левую часть неравенства, чтобы она зависела от того же аргумента, что и правая часть, то есть от $\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$. Используем формулу приведения: $\sin x = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$. Тогда $-2 \sin x = -2 \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$. Так как косинус — чётная функция, $\cos(\alpha) = \cos(-\alpha)$, то $\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos\left(-\left(\frac{\pi}{2} - x\right)\right) = \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$. Это не совсем то, что нам нужно. Воспользуемся другой формулой: $\sin x = \cos(x - \frac{\pi}{2})$. Еще раз, $-2 \sin x$. Используем $\sin x = -\cos(x + \frac{\pi}{2})$. $-2 \sin x = -2 \left(-\cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right)\right) = 2 \cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$.

Неравенство принимает вид: $2 \cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right) > \frac{9}{\pi^2}\left(x + \frac{\pi}{2}\right)^2$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x + \frac{\pi}{2}$. Тогда неравенство становится: $2 \cos t > \frac{9}{\pi^2} t^2$.

Решим это неравенство графически или методом оценок, сравнивая функции $f(t) = 2 \cos t$ и $g(t) = \frac{9}{\pi^2} t^2$. Найдем точки пересечения графиков этих функций, то есть решим уравнение $2 \cos t = \frac{9}{\pi^2} t^2$.
Можно заметить, что при $t = \frac{\pi}{3}$: Левая часть: $2 \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$. Правая часть: $\frac{9}{\pi^2} \left(\frac{\pi}{3}\right)^2 = \frac{9}{\pi^2} \cdot \frac{\pi^2}{9} = 1$. Следовательно, $t = \frac{\pi}{3}$ является корнем уравнения.

Поскольку обе функции, $f(t) = 2 \cos t$ и $g(t) = \frac{9}{\pi^2} t^2$, являются чётными ($f(-t) = f(t)$ и $g(-t) = g(t)$), то $t = -\frac{\pi}{3}$ также является корнем уравнения.

График $g(t) = \frac{9}{\pi^2} t^2$ — это парабола с вершиной в точке $(0,0)$, ветвями вверх. График $f(t) = 2 \cos t$ — косинусоида с амплитудой 2. При $|t| > \frac{\pi}{3}$ парабола растёт, а косинусоида колеблется в пределах от -2 до 2. При достаточно больших $|t|$, парабола будет всегда выше косинусоиды. Можно показать, что других точек пересечения нет.

Точки $t = -\frac{\pi}{3}$ и $t = \frac{\pi}{3}$ делят числовую ось на три интервала. Нам нужно определить, на каком из них выполняется неравенство $2 \cos t > \frac{9}{\pi^2} t^2$. Возьмём пробную точку из интервала $\left(-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right)$, например, $t=0$: $2 \cos(0) > \frac{9}{\pi^2} (0)^2 \implies 2 > 0$. Неравенство верно. Следовательно, решение для $t$ — это интервал $-\frac{\pi}{3} < t < \frac{\pi}{3}$.

Теперь вернёмся к исходной переменной $x$, подставив $t = x + \frac{\pi}{2}$: $-\frac{\pi}{3} < x + \frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{3}$.

Вычтем $\frac{\pi}{2}$ из всех частей двойного неравенства: $-\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{2}$.
$-\frac{2\pi}{6} - \frac{3\pi}{6} < x < \frac{2\pi}{6} - \frac{3\pi}{6}$.
$-\frac{5\pi}{6} < x < -\frac{\pi}{6}$.

Ответ: $x \in \left(-\frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{6}\right)$.